ボールと箱のモデル8

ボールと箱のモデルを使って

「区別しない5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」

を求めてみよう．

説明文

箱に区別はないが，数を数えやすくするため，とりあえず区別して考えていく．つまり，箱に区別のある 普通の資源配分に一度戻して考えていく．

ボールは区別しないので，それを $\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc$ とし，箱はとりあえず区別するので番号をつけ，それを としておく．

図は， に1個， に2個， に2個のボールを配った場合を表したものである． このような，ボールの配り方をすべて書き出すと

の6通りの場合があるのがわかる．

説明文

これを，計算で求めるには次のように考えるとよい．

まず，区別しない5個のボールを並べて，図のようにボールの間にある4つの“すきま”について考える．

この4つの“すきま”から2つ選んで，その2ヶ所に“しきり” $\mid$ を入れ，5個のボールを3つの 部分に分ける．図は左から1番目と3番目の“すきま”を選んで“しきり”を入れた例である．

こうしておいてから，この3つの部分の左，真中，右にあるボールの個数ををそれぞれ3つの箱，

に入れるボールの個数に対応させる(図参照)． このように考えると

「区別しない5個のボールを，区別する3個の箱に最低1個は配る場合の数」

は，結局4つの“すきま”から2つの“すきま”の選び方の総数となり，組合せで計算することができる． つまり， $_{4}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6$ 通りと計算できる．

説明文

この6通りは，箱に区別がある場合の資源配分の数であるから，袋に区別が無いときには(3通りを一束にして数えるので)， 図の2通りの場合だけしかない．

この例では， $p(5,3)=\dfrac{6}{3}=2$ である．