ボールと箱のモデル8

ボールと箱のモデルを使って

「区別しない5個のボールを,区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」

を求めてみよう.

説明文

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箱に区別はないが,数を数えやすくするため,とりあえず区別して考えていく.つまり,箱に区別のある 普通の資源配分に一度戻して考えていく.

ボールは区別しないので,それを $\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc$ とし,箱はとりあえず区別するので番号をつけ,それを としておく.

図は, に1個, に2個, に2個のボールを配った場合を表したものである. このような,ボールの配り方をすべて書き出すと

の6通りの場合があるのがわかる.

説明文

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これを,計算で求めるには次のように考えるとよい.

まず,区別しない5個のボールを並べて,図のようにボールの間にある4つの“すきま”について考える.

この4つの“すきま”から2つ選んで,その2ヶ所に“しきり” $\mid$ を入れ,5個のボールを3つの 部分に分ける.図は左から1番目と3番目の“すきま”を選んで“しきり”を入れた例である.

こうしておいてから,この3つの部分の左,真中,右にあるボールの個数ををそれぞれ3つの箱,

に入れるボールの個数に対応させる(図参照). このように考えると

「区別しない5個のボールを,区別する3個の箱に最低1個は配る場合の数」

は,結局4つの“すきま”から2つの“すきま”の選び方の総数となり,組合せで計算することができる. つまり, $_{4}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6$ 通りと計算できる.

説明文

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この6通りは,箱に区別がある場合の資源配分の数であるから,袋に区別が無いときには(3通りを一束にして数えるので), 図の2通りの場合だけしかない.

資源配分(配分先に区別が無い場合)の数 $p(n,r)$ の定義

「区別しない $n$ 個のボールを,区別しない $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の数」を, $\text{FTEXT}$ では $\boldsymbol{p(n,r)}$ と表す.

この例では, $p(5,3)=\dfrac{6}{3}=2$ である.