資源配分(配分先に区別が無い場合)の数$p(n,r)$の計算

1. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」であり，これは次の図のような $\boldsymbol{1}$ 通りである．

2. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような $\boldsymbol{2}$ 通りである．

3. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような $\boldsymbol{2}$ 通りである．

4. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない4個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような $\boldsymbol{1}$ 通りである．

5. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない5個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような $\boldsymbol{1}$ 通りである．

まず，ボールを区別せず，箱を区別する(a箱，b箱，c箱と名付ける) 場合について考える．

このとき，9個のボールを3つの箱に分ける方法は，並べた9個のボールの“すきま”8ヶ所に“しきり”を2ヶ所いれ，左から順にa箱，b箱，c箱に入れるボールの数と対応させればよい． つまり， $_{8}\mathrm{C}_{2}=28$ 通りある．

a箱，b箱，c箱にはいるボールの数がそれぞれ $l,m,n$ のとき， $(l,m,n)$ と表す．

1. 28通りのうち3つの箱とも入るボールの数が等しくなるのは
\begin{align} (3,3,3) \end{align}

の1通り．

2. a箱，b箱に入るボールの数が等しいのは，3箱とも入るボールの数が同じ場合を除くと

$(1,1,7),(2,2,5),\overbrace{(3,3,3)}^\text{これは除く},(4,4,1)$

の3通りある．3つの箱のうち，どの2つの箱に入る球の数が等しくなるかは $_{3}\mathrm{C}_{2}$ 通りあるので， 2つの箱に入るボールの数が等しいのは $_{3}\mathrm{C}_{2}\times3=9$ 通り．

3. 3つの箱に入るボールの数がばらばらであるのは， $28−(1+9)=18$ 通り．

よって，箱の区別をなくすと

$1+\dfrac{9}{3}+\dfrac{18}{3!}=\boldsymbol{7}$ 通り

$\uparrow\ p(9,3)$

7通りの内訳は次のようになる．

1. Aに $a$ 個，Bに $b$ 個，Cに $c$ 個入れるとして

$a+b+c=n$ を満たす0以上の整数の組 $(a,b,c)$ が何組あるかと対応する．

$\uparrow$ 資料配分〜その2〜の例題を参照のこと

よって

\begin{align} _{3}\mathrm{C}_{n}=&\ _{n+2}\mathrm{C}_{n}=\ _{n+2}\mathrm{C}_{2}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}}通り \end{align}

2. 1. の $\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}$ 通りのうち
1. 3箱に入るボールの数がすべて違うものが $p$ 通り
2. 3箱に入るボールの数が2箱については同じものが $q$ 通り
3. 3箱に入るボールの数がすべて同じものが $r$ 通り

あるとすれば，求める値は，箱の区別を無くすため，それぞれ6,3,1で割って $\dfrac{p}{3!}+\dfrac{q}{3}+r$ 通りとなる．

まず， $r$ は明らかに1である．

次に， $q$ を求める．どの2つの箱に入るボールの数が等しくなるかで $_{3}\mathrm{C}_{2}$ 通りある． 例えば $a$ と $b$ が等しい場合

\begin{align} (a,b,c)=&(k,k,6m-2k)\\ &\qquad(k=0,1,\cdots,3m) \end{align}

なので， $3m+1$ 通りあるが，3箱に入るボールの数がすべて同じになる場合である $(a,b,c)=(2m.2m,2m)$ の1通りを引いて，

$3m$ 通りある．よって

\begin{align} q=\ _{3}\mathrm{C}_{2}\cdot3m=9m \end{align}

最後に， $p$ は全体から $q,r$ を引くことにより求まり

\begin{align} p=&\ \frac{(n+2)(n+1)}{2}-9m-1\\ =&\ \frac{(6m+2)(6m+1)}{2}-9m-1\\ =&\ 18m^2 \end{align}

以上より

$\dfrac{18m^2}{3!}+\dfrac{9m}{3}+1=\boldsymbol{3m^2+3m+1}$

通り