資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の例題において．空の箱があってもよいとすると，何通りの配り方があるか求めよ．

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の解答より，

空の箱が1つも無い場合には7通りであった．

2つの箱が空箱になるのは，1通り． 1つの箱が空箱になるのは(数えて)4通り．よって

$1+4+7=\boldsymbol{12}$ 通り

$\uparrow p(9,1)+p(9,2)+p(9,3)$

この例題からわかるように，空の箱があってもよい場合のボールの配り方は， $p(n,r)$ の和となる．ボールと箱のモデルでまとめると，次のようになる．

「区別しない $n$ 個のボールを，区別しない $r$ 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」は， $p(n,1)+p(n,2)+\cdots+p(n,r)$ と表すことができる．

ボールと箱のモデルでの体系では以下の位置を占めている．