数の分割

自然数の5を正の整数の和(5そのものも含むとする)として表す方法には，和の順番を区別しなければ

\begin{align} &5,4+1,3+2,3+1+1,2+2+1,\\ &\qquad2+1+1+1,1+1+1+1+1 \end{align}

の7通りある．

このように，正の整数 $n$ を正の整数の和として表すことを，正の整数 $n$ の分割(partition)といい，その表し方の総数を $\text{FTEXT}$ では $p(n)$ と表す．この例から， $p(5)=7$ である．

資源配分(配分先に区別が無い場合)の計算練習の例題より

\begin{align} &p(5,1)=1,p(5,2)=2,p(5,3)=2,\\ &\qquad p(5,4)=1,p(5,5)=1 \end{align}

であったが，これらは自然数5の分割のすべてのパターンを表したものであるので

\begin{align} p(5)=&p(5,1)+p(5,2)+p(5,3)\\ &\qquad+p(5,4)+p(5,5) \end{align}

が確認できる．