内心の定理
内心の定理
内心
どんな三角形でも，3つの角の二等分線は1点で交わる．
証明
無題
上の証明により，次のことがいえる．
\[\mathrm{ID}\perp\mathrm{BC},\mathrm{IE}\perp\mathrm{CA},\mathrm{IF}\perp\mathrm{AB}\] \[\mathrm{ID}=\mathrm{IE}=\mathrm{IF}\]よって，この点 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $\mathrm{ID}$ の円は， $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の3辺に接する．
この円を $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の内接円といい，点 $\mathrm{I}$ を $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の内心という．
内心
無題
次の図において，次の角の大きさを求めよ．ただし，点 $\text{I}$ は $\triangle{\text{ABC}}$ の内心とする．
- $\angle{\text{ABI}}$
- $\angle{\text{BIC}}$
- $\triangle{\mathrm{ABC}}$ において，
- $\triangle{\mathrm{IBC}}$ において，
$2\angle{\text{ABI}}+30^\circ\times2+80^\circ=180^\circ$ より，
$\angle{\text{ABI}}=\boldsymbol{20^\circ}$
$20^\circ+30^\circ+\angle{\text{BIC}}=180^\circ$ より，
$\angle{\text{BIC}}=\boldsymbol{130^\circ}$
内接円の半径と三角形の面積
無題
次の図のような $\triangle{\mathrm{ABC}}$ があり，面積は $12\sqrt{15}$ である．この三角形の内接円の半径を求めよ．
無題
$\triangle{\mathrm{OAB}}+\triangle{\mathrm{OBC}}+\triangle{\mathrm{OCA}}=\triangle{\mathrm{ABC}}$ であることに着目する．
内接円の半径を $r$ とすると，
\begin{align} &\frac{1}{2}\times12\times{r}+\frac{1}{2}\times16\times{r}\\ &\qquad+\frac{1}{2}\times8\times{r}=12\sqrt{15} \end{align} \[r=\boldsymbol{\frac{2\sqrt{15}}{3}}\]