内心の定理

内心の定理

内心

どんな三角形でも,3つの角の二等分線は1点で交わる.

証明

無題

無題

上の証明により,次のことがいえる.

\[\mathrm{ID}\perp\mathrm{BC},\mathrm{IE}\perp\mathrm{CA},\mathrm{IF}\perp\mathrm{AB}\] \[\mathrm{ID}=\mathrm{IE}=\mathrm{IF}\]

よって,この点 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $\mathrm{ID}$ の円は, $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の3辺に接する.

この円を $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の内接円といい,点 $\mathrm{I}$ を $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の内心という.

内心

無題

無題

次の図において,次の角の大きさを求めよ.ただし,点 $\text{I}$ は $\triangle{\text{ABC}}$ の内心とする.

  1. $\angle{\text{ABI}}$
  2. $\angle{\text{BIC}}$

  1. $\triangle{\mathrm{ABC}}$ において,
  2. $2\angle{\text{ABI}}+30^\circ\times2+80^\circ=180^\circ$ より,

    $\angle{\text{ABI}}=\boldsymbol{20^\circ}$

  3. $\triangle{\mathrm{IBC}}$ において,
  4. $20^\circ+30^\circ+\angle{\text{BIC}}=180^\circ$ より,

    $\angle{\text{BIC}}=\boldsymbol{130^\circ}$

内接円の半径と三角形の面積

無題

無題

次の図のような $\triangle{\mathrm{ABC}}$ があり,面積は $12\sqrt{15}$ である.この三角形の内接円の半径を求めよ.

無題

無題

$\triangle{\mathrm{OAB}}+\triangle{\mathrm{OBC}}+\triangle{\mathrm{OCA}}=\triangle{\mathrm{ABC}}$ であることに着目する.

内接円の半径を $r$ とすると,

\begin{align} &\frac{1}{2}\times12\times{r}+\frac{1}{2}\times16\times{r}\\ &\qquad+\frac{1}{2}\times8\times{r}=12\sqrt{15} \end{align} \[r=\boldsymbol{\frac{2\sqrt{15}}{3}}\]