等式の数学的帰納法

1. $n=1$ のとき
$$\begin{align} (左辺)&=\sum_{k=1}^1k(k+1)=1\cdot2=2\\ (右辺)&=\frac{1}{3}\cdot1\cdot2\cdot3=2 \end{align}$$

ととなるので，確かに $\eqref{tosikinokinoho1}$ は成り立つ．

2. $n=m$ のとき( $m$ はある自然数とする) $\eqref{tosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定する，つまり
$$\begin{align} &\sum_{k=1}^mk(k+1)\\ =&\frac{1}{3}m(m+1)(m+2)\tag{2}\label{tosikinokinoho2} \end{align}$$

を仮定する．

このとき， $\eqref{tosikinokinoho1}$ で $n=m+1$ とおいた等式

$$\begin{align} &\sum_{k=1}^{m+1}k(k+1)\\ =&\frac{1}{3}(m+1)(m+2)(m+3)\tag{3}\label{tosikinokinoho3} \end{align}$$

が成り立つのを以下に示す．

仮定 $\eqref{tosikinokinoho2}$ を使えるような形にするため $\displaystyle\sum_{k=1}^mk(k+1)$ をくくり出す

$$\begin{align} &(\eqref{tosikinokinoho3}の左辺)\\ =&\sum_{k=1}^{m+1}k(k+1)\\ =&1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots\\ &\quad+m(m+1)+(m+1)(m+2)\\ =&\sum_{k=1}^mk(k+1)+(m+1)(m+2)\\ =&\frac{1}{3}m(m+1)(m+2)+(m+1)(m+2)~\because{\eqref{tosikinokinoho2}}\\ =&(m+1)(m+2)\left(\frac{1}{3}m+1\right)\\ &\uparrow共通因数(m+1)(m+2)でくくった\\ =&(m+1)(m+2)\frac{m+3}{3}\\ =&\frac{1}{3}(m+1)(m+2)(m+3)\\ =&(\eqref{tosikinokinoho3}の右辺) \end{align}$$

よって， $n=m$ のとき $\eqref{tosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定すれば， $n=m+1$ の場合も $\eqref{tosikinokinoho1}$ が成り立つことがいえた．

1. 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $\eqref{tosikinokinoho1}$ は成り立つ．