不等式の数学的帰納法

1. $n=1$ のとき
\begin{align} (左辺)&=3^1=3\\ (右辺)&=1+1=2 \end{align}

となるので，確かに $\eqref{hutosikinokinoho1}$ は成り立つ．

2. $n=m$ のとき( $m$ はある自然数とする) $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定する，つまり
\[3^m\gt m+1\tag{2}\label{hutosikinokinoho2}\]

を仮定する．

このとき， $\eqref{hutosikinokinoho1}$ で $n=m+1$ とおいた等式

\[3^{m+1}\gt m+2\tag{3}\label{hutosikinokinoho3}\]

が成り立つのを以下に示す．

仮定 $\eqref{hutosikinokinoho2}$ を使えるような形にするため $3^m$ をくくり出す

\begin{align} &(\eqref{hutosikinokinoho3}の左辺)\\ =\ &3^{m+1}\\ =\ &3\cdot3^m\\ \gt\ &3\cdot(m+1)\qquad\qquad\because{\eqref{hutosikinokinoho2}}\\ =\ &3m+3\\ =\ &m+2+(2m+1)\\ \gt\ &m+2\qquad\qquad\qquad\because{2m+1\gt0}\\ =\ &(\eqref{hutosikinokinoho3}の右辺) \end{align}

$\blacktriangleleft$ 正の数 $(2m+1)$ をなくせば，全体として小さくなる

よって， $n=m$ のとき $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定すれば， $n=m+1$ の場合も $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つことがいえた．

1. 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $\eqref{hutosikinokinoho1}$ は成り立つ．