中心と半径が与えられたとき

点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする，半径$r$ の円を$\text{C}$ とする．このとき，この円周上を動く点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

点$\text{P}$ が円$\text{C}$ 上にあるとき，線分$\text{CP}$ の長さは常に$r$ となる，すなわち$\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r$となるから

\[\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r\] \[\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{c}\right| =r \tag{2}\label{chuushintohankeigaataeraretatoki2}\]

が成り立つ．この$\eqref{chuushintohankeigaataeraretatoki2}$を円$\text{C}$ のベクトル方程式という．

また，座標平面上で$\vec{c}$ が$\vec{c} =\dbinom{x_0}{y_0}$と成分表示された場合，$\vec{p} =\dbinom{x}{y}$とおくと

\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x}{y}-\dbinom{x_0}{y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x-x_0}{y-y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2} = r\\ &\Leftrightarrow (x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 = r^2 \end{align}

となり，これはFTEXT数学II の『図形と方程式』で学習した円の方程式と一致する．