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中心と半径が与えられたとき

無題

無題

C(c) を中心とする,半径r の円をC とする.このとき,この円周上を動く点P の位置ベクトルp の表し方を考えよう.

P が円C 上にあるとき,線分CP の長さは常にr となる,すなわち|CP|=rとなるから

|CP|=r |pc|=r

が成り立つ.この(2)を円C のベクトル方程式という.

また,座標平面上でc\vec{c} =\dbinom{x_0}{y_0}と成分表示された場合,\vec{p} =\dbinom{x}{y}とおくと

\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x}{y}-\dbinom{x_0}{y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x-x_0}{y-y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2} = r\\ &\Leftrightarrow (x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 = r^2 \end{align}

となり,これはFTEXT数学II の『図形と方程式』で学習した円の方程式と一致する.