2平面の位置関係について

異なる2 平面$\alpha ,\beta$ の位置関係には，次の2 つの場合がある．

2 平面の位置関係の図その１2 平面の位置関係の図その2

1) のように，2 平面$\alpha ,\beta$ が共有点をもたないとき，この2 平面は平行であるといい，$\alpha \parallel \beta$ とかく．

また，2) のように，2 つの平面$\alpha ,\beta$ が共有点をもつとき，この2 平面はその共有点を含むある1 つの直線を共有する．このとき，この2 平面は交わるといい，この直線を$\alpha$と$\beta$ の交線という．

2 平面の位置関係の図その3

交わる2 平面$\alpha ,\beta$ の交線上の点$\text{P}$ から交線に垂直な直線$\text{PA}，\text{PB}$ をそれぞれ$\alpha ,\beta$ 上に引くと，$\text{P}$ のとり 方に関係なく$\angle \text{APB}$ の大きさは一定となる．この角を2 平面$\alpha ,\beta$ のなす角という．特に，$\angle \text{APB} = 90^\circ$ のとき，$\alpha$と$\beta$ は直交する，または垂直であるといい，$\alpha \perp \beta$と書く．

空間における点・直線・平面

無題

無題

右図の立方体について，以下の問いに答えよ．

  1. $\text{AB}$ と$\text{FH}$ のなす角を求めよ．
  2. $\text{AB}$ と$\text{FC}$ のなす角を求めよ．
  3. $\text{BD}$ と$\text{AH}$ のなす角を求めよ．
  4. 平面$\text{ABCD}$ と平面$\text{BFHD}$ のなす角を求めよ．
  5. $\text{DF}$ と平面$\text{EFGH}$ のなす角を$\theta$ とするとき，$\cos \theta$ の値を求めよ．

  1. $\text{AB}$ と$\text{FH}$のなす角は，$\text{EF}$ と$\text{FH}$ のなす角と等しい．したがって，$\triangle \text{EFH}$ は$1 : 1 :\sqrt{2}$ の二等辺三角形なので，$\boldsymbol{45^\circ}$ である．
  2. $\text{AB}$ と$\text{FC}$ のなす角は$\text{EF}$ と$\text{FC}$ のなす角と等しいので，$\boldsymbol{90^\circ}$ である．
  3. $\text{BD}$ と$\text{AH}$ のなす角は$\text{BD}$ と$\text{BG}$ のなす角と等しい．したがって，$\triangle \text{BGD}$ は正三角形なので，$\boldsymbol{60^\circ}$ である．
  4. 図より，$\boldsymbol{90^\circ}$ である．
  5. 立方体の1 辺の長さを$1$ とすると，$\text{DF} =\sqrt{3}，\text{FH} = \sqrt{2}$ であるから \[\cos \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}\]