数学II 第1章 式と証明 — 等式の証明
恒等式
多項式とはなんであったか
FTEXT 数学Iで学んだように，いくつかの単項式の和や差として表される式を多項式(polynomial) といった． たとえば，
これらの言葉をつかうと，定数
を
多項式の相等
2つの
において，すべての係数が等しい，すなわち
が成り立つとき，
たとえば，多項式
恒等式とは何か
式
これに対して，式
値を代入する文字，すなわち変数は1つとは限らない． たとえば，
ある等式において，その変数にどのような値を代入しても， 常に等式が成り立つとき，その等式をそれらの文字についての恒等式(identity)という．
一般に，式の変形によって導かれる等式は，どれも恒等式である． たとえば，
は恒等式である．
次の等式のうち，恒等式はどれか．
解答を見る
左辺を展開すると
(左辺)
\begin{eqnarray} &=&x^2+4x+3-5x-5\ &=&x^2-x-2\ &=&(x-2)(x+1)= \end{eqnarray}
(右辺)
ゆえに，
恒等式である．
両辺に，
←
(左辺)
(右辺)
左辺の値と右辺の値が異なるので
恒等式ではない．
両辺に，
←
(左辺)
(右辺)
左辺の値と右辺の値が異なるので
恒等式ではない．
以上から，恒等式は
である．
多項式が恒等的に0になる条件
が必要であり，この連立方程式を解くと
となる(下の
以上より，次のことが成り立つ．
「
この例では2次式の等式について考えたが，一般に，同類項を整理した後の多項式について，次のことが成り立つ．
多項式
が恒等式となるのは，
のときである．
この証明は，付録多項式が恒等的に
多項式が恒等的に0になる条件
この証明は，このあと習う知識を必要とし，しかも少々難しいので，初読の際には読み飛ばしてよい．
2つの
とおく．このとき，等式
が恒等式となるのは，
が成り立つときであることを上の多項式が恒等的に
解答を見る
等式
が恒等式となることとは同値である．
←このあとすぐに習う『等式の証明について』の知識を使った
この恒等式が成り立つのは，多項式が恒等的に
すなわち
が成り立つときである．
この例題の内容をまとめると，次のようになる．
が恒等式となるのは，
このことから，
i)
ii)左右両辺の同じ次数の係数が等しくなっている(係数比較法)
上記のいずれの条件でもよいことがわかる．
以下では，この2つを活用して，恒等式を求めてみよう．
次の等式が恒等式となるように，定数
解答を見る
両辺の
の係数を比較すると， 両辺の
の係数を比較すると， 両辺の定数項を比較すると，
両辺の
の係数を比較すると， ←右辺には
\begin{eqnarray} &&1^2=1(1-1)^2+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}
また，
←
以外の数でもかまわないが，一番計算が簡単にできる を使った \begin{eqnarray} &&0^2=1(0-1)^2+b(0-1)+1\ &&\Leftrightarrow
0=1-b+1\ &&\Leftrightarrow\boldsymbol{b=2} \end{eqnarray}両辺の
の係数を比較すると， ←右辺には
\begin{eqnarray} &&1^2=1\cdot1(1+1)+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow
2+c=1\ &&\Leftrightarrow\boldsymbol{c=-1} \end{eqnarray}また，
←右辺には
\begin{eqnarray} &&(-1)^2=1(-1)(-1+1)\ &&\qquad+b(-1-1)-1\ &&\Leftrightarrow~-2b-1=1\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-1} \end{eqnarray}
両辺の
の係数を比較すると， ←右辺には
\begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}
右辺を展開すると
(右辺)
\begin{eqnarray} &&=1(x^3-3x^2+3x-1)\ &&\quad+b(x^2-2x+1)+cx-c+1 \ &&=x^3+(b-3)x^2\ &&\quad+(-2b+c+3)x-c \end{eqnarray}
と の項の係数を比較すると この連立方程式を解くと，
【別解：微分法を用いる】
←右辺には
\begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}
与式の両辺を微分すると
これに
←右辺には
の両辺をさらに微分すると これに
←右辺には
\begin{eqnarray} &&6\cdot 1=6a(1-1)+2b\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=3} \end{eqnarray}
の両辺をさらに微分すると 右辺の
の係数は なので， また，
←右辺には
\begin{eqnarray} &&(-1)^3=1(-1)(-1+1)(-1+2)\ &&\qquad+b(-1)(-1+1)+c(-1)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}
さらに，
←右辺には
\begin{eqnarray} &&(-2)^3=1(-2)(-2+1)(-2+2)\ &&\qquad+b(-2)(-2+1)+1(-2)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-3} \end{eqnarray}
解答を見る
左辺を展開し，
これが
のとき．
←
この連立方程式を解くと
2つ以上の変数に関する恒等式
が
まず，左辺を
となるが，まず
また，これらが
となる．
一般に，次にようにまとめることができる．
複数の変数に関する等式が恒等式となる条件は，同類項でまとめたあとの各項の係数がすべて
等式の証明について
等式の証明を考える
恒等式
たとえば
を証明するには
\begin{eqnarray} \text{(左辺)}&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\ &=&x^4-x^3+x^2+x^3\ &&-x^2+x+x^2-x+1\ &=&x^4+x^2+1\ &=&\text{(右辺) } \end{eqnarray}
とすればよい．
しかし，問題によっては
などの等式を証明する方が簡単なときもあるので，適宜使い分ける．
以下の等式を証明せよ．
解答を見る
左辺を展開し整理すると
（左辺）
\begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\ &&=4xy= \end{eqnarray}
(右辺)
となる．
両辺をそれぞれ展開し整理すると
(左辺)
(右辺)
\begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}
よって，(左辺)
右辺)がいえる． ←「
左辺を変形して
(左辺)
\begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\ &&=(x+1){(x^2+1)^2-x^2}\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}
(右辺)
となる．
以下の等式を証明せよ．
解答を見る
左辺を通分して計算していくと
(左辺)
(右辺)
となる．
両辺をそれぞれ通分して計算していくと
(左辺)
(右辺)
よって，(左辺)
(右辺)がいえる． 左辺を通分して計算していくと
(左辺)
(右辺)
となる．
条件つきの等式の証明
等式の中には，恒等式ではないが，ある条件のもとではつねに成り立つ等式がある．
たとえば，
（左辺）
（右辺）
より，（左辺）
一般に，ある条件のもとで成り立つ等式を証明するには，その条件式を証明すべき式に代入すればよい． そのことを次の例題で学んでいこう．
次の等式を証明せよ．
解答を見る
左辺を変形すると
（左辺）
よって，（左辺）
（右辺）がいえる．
（左辺）
（右辺）
よって，（左辺）
（左辺）
（右辺）
よって，（左辺）
次の等式を証明せよ．
解答を見る
これを左辺にもちいると
（左辺）
（左辺）
より，（左辺）
（左辺）
となる．
比例式を条件にもつ等式の証明
比例式を条件とする場合には，比の値を
また
を，
と定義する． こちらの場合も，
解答を見る
比例式の利用
（左辺）
より，（左辺）
（左辺）=
（右辺）
より，（左辺）
（左辺）=
（右辺）
より，（左辺）
対称式
対称式の定義
次の6つの式
において，各式の中の
となる．
ここで，式
このように，文字を入れ換えても，式が変わるものと変わらないものとがあり， 変わらないものを対称式という．
式の中の文字
対称式の中でも特に
の2式を，基本対称式(elementary symmetric expression)という．
対称式の基本定理
証明は高校の程度を越えるが，一般に次のことが知られている．
すべての対称式は，基本対称式の和，差，積，商の組合せで表すことができる．
解答を見る
元記事: http://www.ftext.org/text/section/105（取得日 2026-08-07）
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