数学II 第7章積分法 — 速度と変位

速度が一定の場合

ある時刻（とする）から秒後（とする）まで、一定の速度（とする）で走っている人がいるとする。右図は、横軸に時間（）、縦軸に速度（）をとり、この関係をグラフ（グラフという）にしたものである。

<mjx-container role= グラフ"> この人が、ある時刻から秒の間に移動する距離は $（速度）（時間）（距離）$ であったからと計算できる。

この移動する距離は、右図の網掛け部分で示してあるように、で

「グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

で表されることに注意しよう。

<mjx-container role= グラフ">

では次に、速度が時間とともに変化していく場合について考えてみよう。

たとえば、ある時刻（）の速度から一定の割合で速度を上げ、秒後（）には速度となる場合には、時刻と速度の関係はと表され、このグラフは右図のようになる。しかし、この場合は『速度が一定の場合』ではないので、単純に（速度）（時間）で移動距離を求めることはできない。

<mjx-container role= グラフ"> では、どのように移動距離を求めればよいのかというと、結論を先にいってしまえば、さきほどと同じように

「グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

が移動距離を表す。つまり、右図の台形の面積が移動距離となる。

<mjx-container role= グラフ"> さて、それではなぜ

「グラフと横軸ではさまれた部分の面積」

が移動距離を表すのかについて、以下で考えていこう。

そのためにまず、一定の割合で速度を上げる運動ではなく、段階的に速度を上げる運動を考えよう。右図は、速度から速度まで、ごとにずつ、段階的に速度を上げた場合のグラフである。

<mjx-container role= グラフ"> このような運動ならば、部分的に速度が一定となるので、移動距離は各部分の長方形の面積を足し合わせることにより $① ② ③ ④ ⑤$ と計算できる。

しかし、この移動距離は本来求めたい、速度がで表される運動の移動距離ではない。なぜなら、速度を切り上げて一定としているので、本来の運動より移動距離が大きくなってしまうからである。

そこで、精度を上げるために、より段階を細かくした運動を考えよう。右図は、速度から速度まで、ごとにずつ、段階的に速度を上げた場合のグラフである。

<mjx-container role= グラフ"> さきほどと同じように、移動距離は各部分の長方形の面積を足し合わせることにより $① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩$ とわかる。

この値も本来求めたい移動距離とは異なるのだが、段階を細かくすることにより、より本来の運動に近づいたと考えられる（下図も参照）。

<mjx-container role= グラフの変化"> このように、段階を細かくすることによってより正しい値に近づくのであれば、もっと上手工夫して計算したい。それを次に考えてみよう。

から、速度はごとにずつ増加するのがわかる。まず、下図のように、時刻からまでを位置を等分する。そして、一区間であるごとに、ずつ段階的に速度を上げるグラフを考える。

<mjx-container role= グラフ"> このとき，移動距離は各長方形の面積を足し合わせることによりこれを記号で表すと、となる。以下、これを計算するととなる。この式のにやを代入すれば、さきほど求めたやになる。

注記号と、その計算方法についてはFTEXT数学B『数列』を参照のこと。記号を未修の場合には計算過程は理解できなくてよいので、移動距離はグラフで囲まれる面積で表される、という結論だけ抑えておこう。

さて、段階をどんどん細かくしていくということは、「等分」であるの値をどんどん大きくしていくということに他ならない。つまり、という極限値が求めるべき値である。これを計算するととなる。この値は、『速度が変化する場合のグラフと移動距離』で台形の面積として求めた移動距離と一致していることを確認しよう。

最終更新: 2026-08-08

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。