数学II 第6章 微分法 — 極限

極限の定義

極限の定義について

極限の考え方の基本～例1～

ここで、例として において がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば、 を からスタートして、 と に近づけていくと と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

この表を右に続けていく、つまり を に近づけていくと、 の値は に近づいていくことがわかる。

また、 を からスタートして、 と、距離を半分ずつつめながら に近づけていくと と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

この表からも、 を に近づけると、 は に近づくことがわかる。

以上2つの例からわかるように であるといえる。

この結果は、図の のグラフから明らかであろう。

また、ここで であるから、結果として となっていることがわかる。

一般に、この のように、 のグラフが で途切れていないとき、 の値は となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。

注 これは関数の連続 (continity) の定義となるが、詳しくはFTEXT 数学IIIで学ぶ

しかし、次の例のように、関数 のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性が あるので、極限値を求めるのに注意を要する。

極限の考え方の基本～例2～

では、その例として、 において がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば を からスタートして、 と に近づけていくと と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

この表を右に続けていく、つまり を に近づけていくと、 の値は に近づいていくことがわかる。

また、 を からスタートして、 と、距離を半分ずつつめながら に近づけていくと と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

この表からも、 を に近づけると、 は に近づくことがわかる。つまり であるといえる。

上の2つの計算では、 の に値を代入してから約分して計算したが、 であるかぎり であるから、このように先に約分してから に値を代入する方が楽になる。

いま、 の値は では（分母が になるので）定義されないが、 は として存在する、つまり であることに注意しよう。

このことを、グラフで考えてみる。 は で と書けるので、 のグラフは図のようになり、 で が存在しなくても、 は存在することがある。

極限の計算法則

極限の計算法則について

さきほどの2つの例より であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 の極限 は、 のとき であるから となる。これは、極限をとったあと足し合わせた という結果と等しくなる。つまり が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。

和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/126（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08