数学II 第1章式と証明 — 多項式の除法

多項式の除法の基本定理

整数の割り算（多項式の除法）

まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．

たとえば，右図のような計算により，をで割ると，商はで余りはとわかる．この関係を式で表すと

となる．

このとき，を割られる数，を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．

（割られる数） $＝$ （割る数）（商） $＋$ （余り）

また，（割る数）（余り）の関係がある．

整数の除法とは何か，つまり整数を整数で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかをきちんと定義すると

を満たす整数とを求めることとなる. そして，この求まった値とをそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．

注普段割り算で行う筆算は，このやを求めるための手段に過ぎない．

多項式の次数の表し方

まず，多項式の次数を表す記号を定義しておこう．

定義1多項式の次数 §

多項式の次数をと表す．

たとえば， $，$ とするとき， $，$ である．

多項式の除法について

整数の除法に続き，今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる．

たとえば，「をで割る」とは

と変形することであると定義する．ただし，このとき $，$ は共にの多項式であり，であるとする．この結果のとをそれぞれ，多項式の除法における商(quotient)と余り(remainder)と呼ぶ．

定義2多項式の除法 §

多項式 $，$ において

と変形できたとき，を商，を余りという．

特に，余りがのとき，はで割り切れるという．

さきほどの例では，商は，余りはとなる．つまり

となる．各自，以下の2点について確認しておこう．

上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
の次数が余りの次数より大きいこと

以下では，多項式の除法の計算方法についてみていく．

多項式の除法の計算方法

ここでは，をで割ったときの商と余りを求める方法を例として，具体的な計算方法を見ていく．計算方法には次の2つの方法がある．

問題1除法の計算方法～筆算形式～

をで割ったときの商と余りを求めよ．

解答を見る

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式にはの項はないが，その場合でも適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

STEP2

に何をかけて引くと，の最高次の項が消えるかを考える．この例題ではなので，を下図のように書く．

STEP3

下図のようにして，にをかけた式をから引く．

STEP4

STEP2と同じように，が消えるようににをかけて引く．

STEP5

同じように，が消えるようににをかけて引く．

STEP6

最下段のの次数が，割る多項式の次数より低いので，ここでやめる．

この結果から
となることがわかり，商は，余りはとわかる．

多項式の除法の計算方法

慣れてきたらやなどを省略し，係数だけを並べて筆算するとよい．上の計算では次のようになる．

多項式の除法の一意性の図

問題2除法の計算方法～暗算形式～

をで割ったときの商と余りを求めよ．

解答を見る

STEP1

まず，右辺を展開したときにが現れるように，下のように書く．

STEP2

このままでは，右辺のの係数はとなり，左辺のと合わなくなるので，つじつまをあわせるためにを下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにの係数がとなり，左辺とあう．

STEP3

しかし，このままでは，右辺のの係数はとなり，左辺のと合わなくなるので，つじつまをあわせるためにを下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにの係数がとなり，左辺とあう．

STEP4

しかし，このままでは，右辺のの係数はとなり，左辺のと合わなくなるので，つじつまをあわせるためにを右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときにの係数がとなり，左辺とあう．

STEP5

最後に，右辺の定数項と左辺の定数項を合わせるため，右のようにを書く．こうすれば，右辺を展開したときの定数項がとなり，左辺とあう．

この結果から，商は，余りはとわかる．

多項式の除法の計算方法

以上2つの方法を見てきたが，慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる．多項式の係数に分数が含まれる場合など，暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい．

問題3多項式の除法～その１～

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．

$，$
$，$
$，$
$，$

解答を見る

計算すると（筆算形式は下図を参照）

となるので，商は，余りはである．

多項式の除法～その１～の解答の図その１

計算すると（筆算形式は下図を参照）

となるので，商は，余りはである．

多項式の除法～その１～の解答の図その２

計算すると（筆算形式は下図を参照）

となるので，商は，余りはである．

多項式の除法～その１～の解答の図その３

計算すると（筆算形式は下図を参照）

となるので，商は，余りはである．

多項式の除法～その１～の解答の図その４

問題4多項式の除法～その２～

で割ると，商が，余りがになる多項式を求めよ.
を割ると，商が，余りがになる多項式を求めよ．

解答を見る

求める多項式をとすると，商が，余りがであるから
多項式の除法～その２～の解答の図

求める多項式をとおくと

であるから，求める多項式はである．

多項式の除法の一意性

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

注たとえば，1次方程式の解は1つしかないので，「1次方程式の解は一意的に定まる」などと使う．

定理3多項式の除法の一意性 §

多項式 $，$ において

を満たす多項式 $，$ が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

【証明：背理法】

多項式とについて

と2通りに表されたとする．

より

となる．

において，がではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう．よって，は，つまりである．

また，このとき③の左辺はとなるので

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．

1次の多項式の除法の計算方法

多項式の除法において，特に1次式で割る場合には，前節で紹介した2つの方法以外にも，覚えておきたい計算方法が2つある．

組立除法

ここでは，をで割ったときの商と余りを求めることを例として，具体的な計算方法を見ていく．

ここではまず，組立除法(synthetic division)という計算方法について学ぶ．

をで割ったときの，商を，余りをとすると

と表せるが，右辺を展開して整理すると

となるので，両辺の係数を比較することにより

が成り立つ．

これから， $，，，，$ を解くことにより，商の係数や余りは

と計算できる．

この計算の手順は，右上の図のように考えればよい．

たとえば，をで割ったときには，右図のような計算結果になるので

商は余り1

と求まる．

問題5例題(組立除法)

をで割ったときの商と余りを組立除法で計算せよ．

解答を見る

組立除法を実行すると

となるので，商は，余りはとなる．

で展開するということ

x−a で展開するということ

たとえば，多項式は

のように表すことができる（右辺を展開して左辺と等しくなることを確かめてみよ）．このような変形を行ったとき，右辺のような形の式のことをで展開された式という．

このように変形するには，次の手順を踏めばよい．

STEP1

まず，の各項から，無理やりをくくる．このとき，とみるのがポイントである．

STEP2

次に，のかたまりを崩さないように，展開していく．

STEP3

最後に，同類項どうしで整理する．

このような変形を利用して，1次式の割り算を考えることもできる．

問題6例題(

で展開するということ)

をで割ったときの商と余りを，をで展開することにより求めよ．

解答を見る

まず，をで展開する．

次に，この式をでくくると

最後に，中括弧の中を展開すると

となるので，結局

と変形できる．

多項式の除法の一意性より，（の次数）（の次数）を満たす関係は一通りに定まるので，商はで，余りはとなる．

問題7多項式の除法(再)

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを組立除法とで展開する方法の2通りで求めよ．

$，$
$，$
$，$
$，$

解答を見る

【解1：組立除法】

組立除法を行うと

多項式の除法(再)の解答の図その１

となるので，商は，余りはである．

【解2：で展開する方法】

となるので，商は，余りはである．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

多項式の除法(再)の解答の図その２

となるので，商は，余りはである．

【解2：で展開する方法】

となるので，商は，余りはである．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

多項式の除法(再)の解答の図その３

となるので，商は，余りはである．

【解2：で展開する方法】

となるので，商は，余りはである．
【解1：組立除法】

組立除法を行うと

多項式の除法(再)の解答の図その４

となるので，商は，余りはである

【解2：で展開する方法】

となるので，商は，余りはである．

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

多項式のに数を代入したときのの値をと書く．

たとえば，とすると

である．

注この表し方は\FTEXT 数学Iで，関数の表し方として学んだ．多項式polynomialの頭文字をとりで表すこともある．

問題8剰余の定理のための補題

とする．

をで割ったときの余りを求めよ．
の値を計算せよ．

解答を見る

割り算を実行すると

　　　　組立除法を使うなら図

となるので，余りはである．

上の例題では，をで割ったときの余りと，の値が等しくなっているが，これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式を1次式で割ったときの商を，余りをとすると，は定数であり

が成り立つ．この式にを代入すると

となり，がをで割ったときの余りと等しいことがわかる．

定理4剰余の定理 §

多項式をで割ったときの余りはである．

問題9剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

$，$
$，$
$，$
$，$

解答を見る

剰余の定理より，
剰余の定理より，
剰余の定理より，
剰余の定理より，

剰余の定理

余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

暗記1剰余の定理の拡張

多項式を1次式で割ったときの余りはであることを証明せよ．

解答を見る

を1次式で割ったときの商を，余りをとすると，は定数であり，次の関係式が成り立つ．

この式のにを代入すると

となり，と余りが等しいことが分かる．

定理5剰余の定理の拡張 §

多項式を1次式で割ったときの余りはとなる．

問題10剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

多項式をで割ると余り，で割ると余る．をで割ったときの余りを求めよ．
多項式をで割ると余り，で割ると余る．をで割ったときの余りを求めよ．
多項式をで割ると余り，で割ると余る．をで割ったときの余りを求めよ.

解答を見る

【解1：除法の式を変形して解く】

をで割ったときの商をとすると，余りがだから

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

とおける．さらに，をで割ったときの商を，余りをとすると

　　　　　　　である

ここで，剰余の定理より

　　　　　　　を使った

となる．よって，求める余りはである．

【解2：余りの多項式をおく】をで割ったときの，商を，余りをとすると

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

である．ここで，剰余の定理より

を使った

を使った

これを解くと $，$ であるから，求める余りはである．
【解1：除法の式を変形して解く】

をで割ったときの商をとすると，余りがだから

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

とおける．さらに，をで割ったときの商を，余りをとすると

　　　　　　　である.

である．ここで，剰余の定理より

　　　　　　　を使った

となる．よって，求める余りはである．

【解2:余りの多項式をおく】をで割ったときの，商を，余りをとすると

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

ここで，剰余の定理より $，，$ なので

を使った

を使った

を使った

これを解くと $，，$ であるから，求める余りはである．
【解1：除法の式を変形して解く】

をで割ったときの商をとすると，余りがだから

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

とおける．さらに，をで割ったときの商を，余りをとおくと，

　　　　　　　である

ここで，剰余の定理より

　　　　　　　を使った

であるから，求める余りはである．

【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

をで割ったときの商をとすると，余りがだから

　　　　　　　多項式の除法の一意性より

とおける．この式をで微分すると

　　　　　　　微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

は多項式なので，これをとおくと

いま，をでわったときの商を，余りをとおくと，

を因数に持つ多項式

であるから

　　　　　　　を使った

さらに，剰余の定理より

を使った

を使った

これを解くと $，，$ であるから，求める余りはである．

因数定理

多項式を1次式で割ったときの商を，余りをとすると，は定数であり

が成り立つ．この式にを代入すると

となり，がわかり，これが剰余の定理だった．

特に，がで割り切れる，つまりのとき

と表すことができる．さらにいいかえるならば，はの因数になっている．

定理6因数定理 §

を多項式とすると

「がの因数である」「」

この因数定理（factor theorem）を利用して，多項式の因数分解をすることができる．次の例題で具体的にみていこう．

問題11因数定理による因数分解-その1-

因数定理を利用して，次の式を因数分解せよ．

解答を見る

やなどを計算してみてになるものをみつける．

とおく．

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にを見つけてもよい

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その１ 2. とおく．

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にやを見つけてもよい

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その２ 3. とおく．

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にやなどを見つけてもよい

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その３

さらに，とおくと

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にやなどを見つけてもよい

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その４

より，． 4. とおく．

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にやなどを見つけてもよい

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その５

さらに，とおくと

であるから，因数定理よりはを因数にもつ．先にやなどを見つけてもよい．

よって説明文

 組立除法を使うなら図

因数定理による因数分解-その1-の解答その６

より，である．

多項式を因数定理を利用して因数分解するとき，となるを見つけることが大切である．このを見つける手段として，次の定理を知っておくとよい．

定理7多項式の因数を見つけるための定理 §

係数がすべて整数である多項式

に対し，既約分数が，を満たすとき

はの約数，はの約数

である（ただし，約数には負の数も含めるとする）．

この定理の証明は多項式の因数を見つけるための定理を参照のこと．

因数定理

は（定数項の約数）（最高次の係数の約数）と覚えるとよい．

たとえば，の因数分解について考えてみると，最高次の係数の約数にはがあり，定数項の約数にはがあるので，となるの候補は

と，これらにマイナスをつけた数がある．

これらを順に

などと調べていくと，となるので

と因数分解できる．

問題12因数定理による因数分解-その2-

次の多項式を因数分解せよ

解答を見る

とおくととなるの候補はがある

であるから

 は判別式の値が負となるので，これ以上因数分解できない

となる． 2. とおくと

となるの候補は  

がある

であるから

となる．また，と因数分解できるので

となる．

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について

定義8多項式の約数と倍数について §

多項式が多項式で割り切れるとき，すなわち

となる多項式が存在するとき

はの倍数(multiple),はの約数(divisor)

という

たとえば，であるから，はの倍数であり，はの約数である

公約数・公倍数

いくつかの多項式に共通な約数を，それらの多項式の公約数(common divisor)といい，公約数の中で次数の最も高いものを最大公約数(greatest common divisor)という．

また，いくつかの多項式に共通な倍数を，それらの多項式の公倍数(common multiple)といい，公倍数の中で次数の最も低いものを最小公倍数(least common multiple)という．

問題13最大公約数と最小公倍数

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ．ただし，答えの式は展開しなくてもよい．

解答を見る

なので，最大公約数は，

最小公倍数はである． 2. ，なので，最大公約数は，最小公倍数はである． 3. ，なので，最大公約数は，最小公倍数はである． 4. ，なので，最大公約数は，最小公倍数はである．

分数式の計算

分数式とは何か

を多項式，を定数でない多項式とするとき，の形で表した式のことを分数式（fractional expression）という．

たとえば

などは，どれも分数式である．

多項式と分数式を合わせて，有理式（rational expression）という．

分数式では，普通の分数と同じように，分母，分子に以外の同じ式をかけてもよいし，分母，分子に共通な因数で割ってもよい．

定理9分数式の基本演算 §

分数式に関して，次の式が成り立つ．

ただし，とする．

これらの変形を行えば，普通の分数と同じように約分（reduction of fraction to its lower terms）や通分（reduction fractions to common denominator）ができる．

問題14分数式の約分

次の分数式を約分せよ．

解答を見る

実際に約分をすると
分子を因数分解すると
分母・分子を因数分解すると
分母・分子を因数分解すると

分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．

分数式の乗法と除法

分数式の乗法と除法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

定義10分数の乗法・除法 §

たとえば

と計算することができる．

問題15分数式の乗法と除法

次の式を計算せよ．

解答を見る

分数式の加法と減法

分数式の加法と減法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

定義11分数式の加法・減法 §

分母が異なる分数式どうしは，通分してから計算する．

たとえば

と計算することができる．

問題16分数式の加法と減法

次の式を計算せよ．

解答を見る

問題17分数式の恒等式

次の式が恒等式となるように，定数 $，，$ の値を定めよ．

解答を見る

両辺に，を掛けると

となる．

両辺にを代入すると

両辺にを代入すると

両辺にを代入すると

$，$ を用いた
両辺に，を掛けると

となる．

両辺にを代入すると

両辺にを代入すると

両辺にを代入すると

元記事: http://www.ftext.org/text/section/108（取得日 2026-08-07）

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数学II 第1章 式と証明 — 多項式の除法

多項式の除法の基本定理

整数の割り算（多項式の除法）

多項式の次数の表し方

多項式の除法について

多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法

多項式の除法の一意性

1次の多項式の除法の計算方法

1次の多項式の除法の計算方法

組立除法

で展開するということ

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

因数定理

多項式の約数と倍数

多項式の約数と倍数について

公約数・公倍数

分数式の計算

分数式とは何か

分数式の乗法と除法

分数式の加法と減法

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数学II 第1章式と証明 — 多項式の除法