FTEXT 数学

数学II 第2章 図形と方程式 — 直線の方程式

直線の方程式について

通る1点と傾きが与えられた直線の方程式

を通り，傾き2の直線を とする．

の方程式を

とすると，これはを通るので

から を消去すると，の方程式は

である．

一般に次のようになる．

図
定理1通る1点と傾きが与えられた直線の方程式 §

点を通り，傾きの直線の方程式は

である．

問題1直線の方程式-その1-

次の直線の方程式を求めよ．

  1. を通り，傾きが
  2. を通り，傾きが
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通る2点が与えられた直線の方程式

を通る直線を とする．

直線の傾きは であり， 点 を通るから，の方程式は通る1点と傾きが与えられた直線の方程式 より

である．

図
定理2通る2点が与えられた直線の方程式 §

異なる2点を通る直線の方程式は

である．ただし， とする．

のとき，直線の方程式は となる．

問題2直線の方程式-その2-

次の2点を通る直線の方程式を求めよ．

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直線の方程式の標準形

座標平面上の直線について，次のことがいえる．

1)直線が軸に平行でないとき 傾きを 切片を とすると，直線の方程式は

2)直線が 軸に平行なとき 軸との交点の座標をとすると，直線の方程式は

以上1)，2)のいずれの場合でも，直線の方程式はとの1次式となっている． つまり，座標平面上のあらゆる直線は

または

である．

直線の集まりとして式をみる方法

方程式 のグラフは，実数 の値によって異なるが， 図のように，必ず切片が1，つまりを通る直線となる．

逆に，を通る直線は，軸に平行な直線以外は， という形の方程式で表される．

直線の方程式を見て，それがどのような直線の集まりを表すか見抜けるよう， 次の例題で練習してみよう．

図
問題3直線の集まりとして式をみる-その1-
  1. 直線 （ はすべての実数）はどのような直線の集まりか．
  2. 直線 （ はすべての実数）はどのような直線の集まりか．
  3. 直線 （ はすべての実数）はどのような直線の集まりか．
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問題4直線の集まりとして式をみる-その2-

を実数とする．直線 について，以下の問いに答えなさい．

  1. の値に関わらずが通る点の座標を求めよ．
  2. が任意の値を取るとき，直線 はどのような直線の集まりになるか．
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についての降べきの順にまとめると

の値に関わらずこの等式が成り立つには， が連立方程式 を満たせばよい．これを解いて， であるので，

直線の平行と垂直

直線の平行と垂直について

中学で学んだように，2本の直線が平行であるとは傾きが一致することであった．

では，2本の直線 が直交するときはどうだろうか． このとき，図のように，直線を平行移動しても交点の作る角は変わらないので， 原点を通る2直線 が直交していることが分かる．

図のように，座標が1の点を，それぞれの直線上にとる． このとき， であるので， 2つの直角三角形とは相似である．よって

が成り立つ．これは，逆も成立する．

図 図

定理3直線の平行と垂直 §

2直線 ）について

「互いに平行」

「互いに直交」

である．

直線の平行と垂直について

「傾きの直線と直交するのは傾きの直線」または 「傾きの符号を変えて，逆数をとれば直交する」のように記憶するとよい.

問題5与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式
  1. を通り直線 に直交する直線を図示し，方程式を求めよ．
  2. を通り直線 に直交する直線の方程式を求めよ．
  3. を通り直線 に直交する直線の方程式を求めよ．
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  1. 図のようになるので，求める方程式は

  2. 傾きの直線に直交するのは傾きの直線なので

    1点と傾きが与えられた直線の方程式

  3. 直線 は と変形でき，傾きは． これと直交する直線の傾きはなので

図

直線に対して対称な点

直線に対して対称な点について

与えられた直線 に対し，点と対称な点をとすると， 以下のことが成り立つ．

  1. 直線は直線と垂直である．
  2. 線分の中点は直線 上にある．
図
暗記1直線に対して対称な点
  1. 直線 に対し， と対称な点を求めなさい．
  2. 直線 に対し， と対称な点を求めなさい．
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  1. 直線に対して対称な点の解答の図その１
    直線に対して対称な点の解答の図その１

    右欄外のような図を描き，とおく．線分の中点は 座標平面上の内分点

    直線上にあるので

    の方程式は と変形できるので， の傾きはである． 直線の傾きはであり， とは直交するので 直線の平行と垂直

    にを代入して これをに代入して ，よって

  2. 直線に対して対称な点の解答の図その２
    直線に対して対称な点の解答の図その２

    図を描いて，とは 座標が等しいと分かる．と直線の距離はであるから，線分の長さはであるので，

    である．

    とおき，の 座標はなので

    と求めてもよい．

点と直線の距離

点と直線の距離について

直線の方程式を ，その直線上にない1点をとする．

のとき，直線 の傾きは-であるので， を通り に垂直な直線の方程式は


と書ける． の方程式との交点の座標は，連立方程式
を解けばよい．これを解いて

よっての距離について

よって を得る． これは， のときも成立する.

注 正射影ベクトルをもちいた導出についてはFTEXT 数学Bを参照のこと.

定理4点と直線の距離 §

直線 と点の距離 は

で求められる．

図

点と直線の距離について

この公式を簡単に導くには計算に工夫を要するので， よく練習して覚えてしまうのがよい． 分子が覚えにくいが，直線 の左辺にあたかも点を代入したような 形になっているので，そう覚えてしまおう．

問題6点と直線の距離-その1-

それぞれ与えられた直線 と一点について，直線 と点の距離を求めなさい．

  1. ，
  2. ，
  3. ，
  4. ，
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問題7点と直線の距離-その2-
  1. 直線 との距離がであるとき，の値を求めよ．
  2. 直線 との距離がであるとき，の値を求めよ．
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  1. 直線 との距離はであるので 点と直線の距離

    を解いて， を得る. のときは のときは

  2. 直線 との距離はであるので

    両辺とも正なので，両辺2乗して のときも， のときも， 2乗すれば になる．

問題8三角形の面積-その1-

原点をとし，，とする．ただし， とする．

  1. 原点から直線へ引いた垂線の長さを求めよ．
  2. 線分の長さを求め，の面積を求めよ．
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  1. 原点と直線の間の距離がと一致する．

    直線は，を通り傾きの直線であるので，その方程式は

    と表される．よって，求める垂線の長さは次のようになる．

    点と直線の距離

， より　　　　　　　　　　　　　　　2点間の距離

上の結果は， のときにも成り立ち，次のようにまとめられる.

注 ベクトルの内積をもちいた導出についてはFTEXT 数学Bを参照のこと．

定理5三角形の面積-点と直線の距離- §

3点を頂点とするの面積 は

である．

図
問題9三角形の面積-その2-
  1. のとき，の面積を求めよ．
  2. とする． が原点と一致するようを平行移動したとき， の座標はに移動したとする． の座標を求め，の面積を求めよ． また，の面積はいくらか．
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  1. 三角形の面積

  2. 軸方向に 軸方向に 平行移動するので

よって，

また， を平行移動してになったので， ． 三角形の面積

元記事: http://www.ftext.org/text/section/111（取得日 2026-08-07）

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