数学II 第2章図形と方程式 — 円の方程式

円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

円は，中心と半径を決めればただ1つに定まる．

そこで，座標平面上の点を中心とした半径の円は，どのような方程式で表されるか考えてみよう．

円の周上にある点の座標をとすると， 2点距離は常にである．座標平面上の2点間の距離で学んだように，であるから

$が円の周上にある$

等式の両辺は共に正であるので両辺を2乗して，等式

を得る．

定理1円の方程式〜平方完成形〜 §

点を中心とし，半径がである円の方程式は

である．

問題1円の方程式

座標平面上に次のような円があるとき，その方程式をそれぞれ求めよ．

中心，半径
中心，半径
中心，半径

解答を見る

円の方程式～標準形～

中心，半径の円の方程式はとなるが，この式は

と変形することができる．逆に，方程式は

と変形し，中心，半径の円の方程式に一致することがわかる．

一般に方程式は

$について平方完成について平方完成$

と変形できるので，であれば，円の方程式を表していることになる．

定理2円の方程式〜標準形〜 §

についての方程式

は，のときに円を表す方程式である．

問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜

次の方程式のうち，円の方程式を表すものについては中心と半径を求めよ．

解答を見る

与式の左辺を平方完成すると

となるので，

中心は

,

半径は

.
与式の左辺を平方完成すると

となるので，

中心は

,

半径は

.
与式の左辺を平方完成すると

となるので，この方程式は円を表さない．
与式の左辺を平方完成すれば

となるので，この方程式は円を表さない．

←この方程式を満たす必要十分条件は，であるので，のみが方程式を満たす．つまり，方程式のグラフは，「点」となる．

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

問題3円の方程式の決定〜その1〜

半径がであり，軸，軸の両方に接する円はいくつあるか．また，それぞれの方程式を求めよ．
中心が直線上にあり，を通る円の方程式を求めよ．
中心が直線上にあり，を通る円の方程式を求めよ．

解答を見る

図のように考えれば，円が

4つ

あることが分かる．

中心はであるので

が求める方程式になる．
与えられた円の方程式はとおくことができる．

を通ることから~~

を通ることから~~

である．これらを整頓して，連立方程式

を得る．上の式を，下の式をすると、 $－$ からなので．

←のにを代入すると考えてもよい．

に代入すればであるので，求める円の方程式はとなる．
与えられた円の方程式はとおくことができる．

←中心は直線上にあるので，中心の座標をとおくと座標もになる．

を通ることから~~

を通ることから~~

である．これらを整頓して，連立方程式

を得る．上の式を，下の式をとすると、 $－$ からなので．

←のにを代入すると考えてもよい．

に代入すればであるので，求める円の方程式はとなる．

与えられた3点を通る円の方程式

どんな三角形も，外接円はただ1つに定まった．これは，(同一直線上にない)3点を通る円周がただ1つに定まることを意味する．

問題4円の方程式〜その2〜

の3点を通る円の方程式を求めよ．
とする．の外接円の中心と半径を求めよ．

解答を見る

求める円の方程式をとおく．

を通ることから

を通ることから

を通ることから

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

上の式から順に,,とする

←より

よりとなって．からを求めればよい

これを解いて．よって，求める方程式はである．
の外接円は3点 $，，$ を通る円に一致する．その方程式をとおく．

を通ることから

を通ることから

を通ることから

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

上の式から順に,,とする

←より





より

\eqref{ennohouteishiki-sono2-44}と\eqref{ennohouteishiki-sono2-55}を連立して．\eqref{ennohouteishiki-sono2-4}から．

これを解いて．よって，の外接円の方程式は

．

平方完成型に変形するととなり，

←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

の外接円の中心は，半径はである．

【2.の別解（略解）】

←もちろん1.も同じようにして解くことができる．

外接円の中心をとすると，であるので

これを解いて，外接円の半径は．

円と直線の関係

円と直線の交点

円と直線の交点について，グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する．

問題5円と直線の共有点の座標

座標平面上に円があるとき，以下の問いに答えよ．

直線と円の共有点があれば，すべて求めよ．
直線と円の共有点があれば，すべて求めよ．

解答を見る

直線と円の共有点は，連立方程式

の解に一致する．上の式を，下の式をとするとき，よりであるので，これをに代入すれば

これを解いて．より，求める共有点の座標は．

←に代入してを解く．のとき $，$ のときとなる．
直線と円の共有点は，連立方程式

の解に一致する．上の式を，下の式をとするとき，よりであるので，これをに代入すれば

となる．2次方程式の判別式をとすると

であるので，は実数解を持たない．つまり，

とは共有点を持たない．

←は実数解を持たないことは，連立方程式，は実数解を持たないことになるため．

座標平面上の円を図形的に考える

図形に置き換えて考えると，円と直線の関係は「直線と円の中心の距離」で決まる．この視点から考えると，次のように考えることができる．

暗記1円と直線の共有点の個数

座標平面上の円と直線が，共有点を持つような実数の範囲を求めたい．以下のに入る式・言葉・値を答えよ．

直線と円の共有点は，連立方程式の実数解に一致する．つまり，この連立方程式がようなの範囲を求めればよい．

連立方程式からを消去し，の2次方程式を得る．

この2次方程式が実数解を持つことから，不等式を得る．

これを解いて，求めるの範囲はと分かる．
条件「直線が円と共有点を持つ」は

条件「直線と円の中心の距離が，以下である」

と必要十分条件である．

直線と円の中心の距離はであるので不等式を得る．これを解いて，求めるの範囲はと分かる．

解答を見る

実数解を持つ

←より上の式を変形すると，なので，それを下の式に代入すればよい

←実数解を持つ~~(判別式)でもよい

(または円の半径)

←直線と点の距離を 点と直線の距離で計算

定理3「円と直線の共有点」について §

円と直線を考えるとき

円と直線の共有点の個数

方程式とを連立して得られる2次方程式の判別式

円の中心と直線の距離

について，次のようにまとめることができる．

円と直線の共有点の個数		2個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式
と直線の距離

円と直線の共有点の個数		1個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式
と直線の距離

円と直線の共有点の個数		0個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式
と直線の距離

座標平面上の円を図形的に考える

これは暗記するようなものではない．必ず簡単なグラフを描いて考えよう．

問題6円が切り取る線分の長さ

円と直線が2点 $，$ で交わり，であるとき，の値を求めたい．以下のに入る式・言葉・値を答えよ．

図のように，円の中心をとし，から直線へ下ろした垂線の足をとおく．このとき，であるので，三平方の定理より，．

ところで，の長さは，点と直線の距離に一致するので，点と直線の距離より

よって，方程式を解けば，と求められる．

解答を見る

(直線)

←直線と点の距離を点と直線の距離で計算

，つまり，．

座標平面上の円を図形的に考える

上の例題は， $，$ の座標を求めての長さをで表し，それがになることから解くこともできるが，計算が大変である．この例題のように，交点が複雑な形になる場合は，問題を図形的に考えると計算が簡単に済む．

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

簡単のため，円の中心が原点にあるときを考えよう．図のように考えて，円周上の点でに接する直線は1本しか存在しないことが分かる．

次の例題で確認してみよう．

問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

円の周上の点を接点とする接線をとする．

接線が線分と直交することから，の傾きを求めよ．
の方程式を求めなさい．

解答を見る

線分の傾きは．

接線と線分が直交するので，の傾きは

←(の傾き)(の傾き)
はを通り傾きの直線であるので

一般に，円の周上の点を接点とする接線の方程式はどうなるだろうか．とすると，接線は線分と直交し，線分の傾きはであるので，

(直線の傾き)(直線の傾き)

となる．よって，はを通り傾きの直線と分かるので

となる．ここで，は円の周上にあるので，を満たす．つまり，の方程式はとなる．

定理4円周上の点から引いた接線の方程式 §

円の周上の点から引いた接線の方程式は

となる．特に，円の中心が原点にある場合は

となる（をの式に代入すればよい）．

円周上の点から引いた接線の方程式

円の方程式において，2乗のうち片方のみに，を代入すると覚えるとよい．また，次で学ぶ「円周外の点から引いた接線の方程式」と混同しないようにしよう．接線が1本に決まるかどうかで判断するとよい．

問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

円の周上の点で接する，接線の方程式を求めよ．
円の周上の点で接する，接線の方程式を求めよ．
円の周上の点で接する，接線の方程式を求めよ．
円の周上の点で接する，接線の方程式を求めよ．

解答を見る

を平方完成形に変形してとなる．よって，で接する接線の方程式は

円周外の点から引いた接線の方程式

円の外に点をとり，Pから引いた円の接線を考えよう．図のようにして，そのような直線は2本存在することが分かる．

次の例題で確認してみよう．

問題9円周外の点から引いた接線の方程式

円と点について，から引いたの接線の方程式を求めたい．以下のに入る式・言葉・値を答えよ．

直線の傾きをとする．はを通り傾きの直線となるので，方程式はとなる．条件「円と直線が接する」は

「円のと直線の距離がに等しい」

という条件と必要十分条件である．

と，円の中心の距離は点と直線の距離を用いてと書けるので，

が成り立つ．これを解いて(ただし，)．よって，の方程式は

のとき $，$ のとき．

解答を見る

~中心(つまり，原点)

~(または円の半径)

←点と直線の距離

←途中の計算は以下のようになる．

両辺とも正なので，両辺2乗して

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

2円の位置関係

2円の位置関係は，2円の半径と中心間の距離で決まり，以下の5つの状態がある．

定理52円の位置関係 §

2円の半径を，中心間の距離をとすると，以下のようになる．

2円の図
2円の位置関係	離れている
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離

2円の図
2円の位置関係	外接している
2円の共有点の個数	1個(外接)
2円の中心間の距離

2円の図
2円の位置関係	交わっている
2円の共有点の個数	2個
2円の中心間の距離

2円の図
2円の位置関係	内接している
2円の共有点の個数	1個(内接)
2円の中心間の距離

2円の図
2円の位置関係	一方が他方を含む
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離

問題102円の関係

円はを中心とした半径の円，円はを中心とした半径の円とする．

のとき，円とはどんな位置関係にあるか．また，のとき，のときはどうか．
とが外接するとき線分の長さを求めよ．また，内接するときはどうか．
がに含まれるための，線分の長さの条件を求めよ．

解答を見る

2円の関係の解答の図その１

のときは

共有点がなく

，のときは

2点で交わり

，のときは

円が円に含まれている.
外接のときは，内接のときは．

2円の関係の解答の図その２
線分の長さが，内接するときより短ければよいので，．

2円の共通接線

2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．

定理62円の共通接線 §

共通接線の本数	4本
2円の位置関係	離れている

共通接線の本数	3本
2円の位置関係	外接している

共通接線の本数	2本
2円の位置関係	交わっている

共通接線の本数	1本
2円の位置関係	内接している

共通接線の本数	0本
2円の位置関係	一方が他方を含む

注 2円の中心間を横切る共通接線は共通内接線（2本ある），2円の上下で接する共通接線は共通外接線（2本ある）と言われる．

共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．

問題112円の共通接線

2つの円がある．この2円に対し，共通内接線，共通外接線を考え， 2本あるの交点をとする．

共通内接線の方程式を求めよ．
の座標を求めよ．
共通外接線の傾きを求めよ．

解答を見る

次の図のようにして，

2本のは軸に平行な直線と分かり，その方程式はである．
次の図のように， 2円の中心を $，$ ， 2接点を $，$ とする．このとき，であり，その相似比は．

よって，であるから，は線分のの中点となる．とおけば

2円の共通接線の解答の図その２

よって，である．
の傾きをとおく．はを通るので

がの方程式となる．この直線との距離が，円の半径に等しくなればよいので

2円の交点を通る円

2つの図形の交点を通る図形の方程式は，交点の座標を求めることなく得ることができる場合がある．それを次の例題で確認しよう．

問題122円の交点を通る円

2円とについて次の問に答えよ．

2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ．
2円の共有点と点を通る円の方程式を求めよ．

解答を見る

kを定数として

とすると，方程式は，2つの円，の交点を通る図形を表す．

←理由は下の本文参照

が直線を表すのはのときなので，となる．

←とすると2次の項が打ち消しあって，1次の項つまり直線の方程式が残る
がを通るとき

よって，求める方程式はとなる．

【解答の編集】

上の例題の2つの図形との交点，すなわち方程式とを同時に満たすの値はを満たす．これより，はとの交点を通る方程式であることがわかる．

さらに，を整理することにより，の場合には

と円の方程式〜標準形〜となり，円を表すことがわかる．

のの値を変化させたときの図形を図に示した．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/112（取得日 2026-08-07）

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数学II 第2章 図形と方程式 — 円の方程式

円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

円の方程式～標準形～

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

与えられた3点を通る円の方程式

円と直線の関係

円と直線の交点

座標平面上の円を図形的に考える

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

円周外の点から引いた接線の方程式

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

2円の共通接線

2円の交点を通る円

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