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数学II 第3章 三角関数 — 三角関数について

三角関数の定義

三角関数の定義について

三角関数の定義について

FTEXT 数学Iで学んだ三角比(trigonometric ratio)で扱う角を任意の実数 とすれば，次の三角関数(trigonometric function)の定義となる．

定義1三角関数の定義 §

単位円周と動径の交点をとする．

(は任意の実数)とするとき

(動点の座標)

(動点の座標)

(動点の座標)(動点の座標)(動径の傾き)

とする． ただし，動点の座標がのとき， つまり (は整数) のときはは定義されない．

図 具体的な例で確認してみよう．

三角関数の定義についての図その１
三角関数の定義についての図その１
  1. のとき

は の直角三角形である．つまり，なので

三角関数の定義についての図その２
三角関数の定義についての図その２
  1. のとき

は の直角三角形である．つまり，なので

三角関数の定義についての図その３
三角関数の定義についての図その３
  1. のとき

より， から負の方向へ移動した にがあるので

は定義できない

には次のような意味もあることを理解しておこう．

注 の正の実数倍に対する三角関数では，のように括弧をつけない．

注 のように，の負の実数倍に対する三角関数では，括弧をつけることが一般的である．

定理2の図形的意味 §

の定義は，動径の傾きであるが，傾きとは軸方向に増加するときの軸方向の増加量である． そのため，図のように直線と直線 の交点をとすると，の座標がになる．

図

三角関数の定義域と値域

三角関数の定義域と値域

以上のことから，三角関数の定義域と値域は次のようにまとめられる．

定理3三角関数の定義域と値域 §

  1. 三角関数の定義域

    1. のは，任意の実数をとることができる．
    2. のは， (は整数)以外の任意の実数をとることができる．

  2. 三角関数の値域

    1. 任意の実数に対し，は以上以下の値をとる．
    2. (は整数)以外の任意の実数に対し，は任意の実数をとる．

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は，その角の動径がどの象限に含まれるかで決定する． まとめると次のようになる．

定理4三角関数の符号と動径の象限 §

三角関数の値の符号は，動径のある象限によって次のように決まる．

  1. の符号
三角関数の符号と動径の象限の図その１
三角関数の符号と動径の象限の図その１
  1. の符号
三角関数の符号と動径の象限の図その２
三角関数の符号と動径の象限の図その２
  1. の符号
三角関数の符号と動径の象限の図その３
三角関数の符号と動径の象限の図その３
問題1任意の角に対する三角関数の値

以下の角度に対する，正弦，余弦，正接の値をそれぞれ求めよ．

解答を見る

  1. なので

  2. なので

  3. より，の三角関数に等しい．1.より

  4. より，の三角関数に等しい．よって

問題2三角関数を含む方程式
  1. のとき， を満たすを求めよ．
  2. のとき， を満たすを求めよ．
  3. を任意の実数とする． を満たすを求めよ．
  4. のとき， を満たすを求めよ．
解答を見る

(動点の座標の値) であればよいので，求めるは，図のに等しい．

  1. の範囲では

となる．つまり， ． 2. の範囲では

となる．つまり，

 ．

  1. は任意なので，を整数として

となる．つまり， ． 4. の範囲では

となる．つまり， ．

図
問題3三角関数を含む不等式
  1. のとき， を満たすの範囲を求めよ．
  2. のとき， を満たすの範囲を求めよ．
  3. を任意の実数とする． を満たすの範囲を求めよ．
  4. のとき， を満たすの範囲を求めよ．
解答を見る

(動点の座標の値)であればよい．

そのためには，動点が図の太線部分にあればよい．

  1. の範囲では， ．

  2. の範囲では， 1.の答えに加えて

も満たすので， ． 3. は任意なので，

    (は整数)

が求める答えとなる． 4. の範囲では

となる．つまり， ．

図
問題4範囲をもつ変数の置き換え
  1. とする． のとりうる範囲を求めよ．
  2. のとき， 方程式 を満たすの値を求めよ．
  3. のとき， 不等式 を満たすの範囲を求めよ．
解答を見る

  1. 1.のを用いると，与えられた方程式は となる． 1.より なので，図より

    となる．

    なので

  2. 1.のを用いると，与えられた不等式は となる． 1.より なので

    となる． を代入してについて解けば

    ←たとえば

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

三角関数の相互関係について

三角関数においても，FTEXT 数学Iで学んだ三角比の相互関係

が成り立つ．

定理5拡張された三角関数の相互関係 §

任意の実数について，次の式が成り立つ(ただし，分母がとなる場合を除く)．

  1. の関係

  1. の関係

  1. の関係

  1. の関係

三角関数の相互関係について

3)と4)は記憶しなくても，1)と2)からすぐに導ける． 2)の両辺をやで割って作ればよい，ということだけ覚えておこう．

問題5三角関数の相互関係の利用

  1. のとき，以下の問いに答えなさい．

  2. のとき，の値を求めなさい．

  3. のとき，の値を求めなさい．

  4. のとき，の値を求めなさい．

解答を見る
  1. より， ．

←拡張された三角関数の相互関係

  1. より， なので

    ．また， ．

  ←<strong>拡張された三角関数の相互関係</strong>
  1. よりは正負どちらでもよい． よって , ．
  2. より， ．

←拡張された三角関数の相互関係

ここで， よりは第象限の角に対応し， ． よって， ．

また， ．

←拡張された三角関数の相互関係

問題6 との関係
    1. のとき，, の値を求めなさい．
    2. さらに， であるとき，の値を求めなさい．
  2. , のとき，の値を求めなさい．
解答 と の関係
解答を見る

    1. の両辺を乗して

    ←拡張された三角関数の相互関係

    また，この値を代入すれば，

    よって， ． 2. 1.より，次の連立方程式が成立する．

    上の式を，下の式をとすると， より であるが， より なので， ． つまり， と分かるので， より となる．

  2. まず， の乗をそれぞれ考えて

    ←拡張された三角関数の相互関係

    である．ここで， より ． なので と分かる．

    よって， から ．

    この連立方程式を解いて（複合同順）

三角関数の性質

の三角関数

の三角関数

の三角関数

が整数のとき，角 の動径は，角の動径と一致するので，次の公式が成り立つ．

定理6 の三角比 §

任意の角について

が成り立つ．ただし，は整数とする．

の三角関数

の三角関数

暗記1の三角関数

を，それぞれで表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角の動径と 角 ( とする)の動径をとる．

点の座標をとすると，は合同なので，点の座標は となるから

図
定理7の三角比 §

任意の角について

が成り立つ．

図

の三角関数

の三角関数

暗記2 の三角関数

を，それぞれで表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角の動径と角 ( とする)の動径をとる．

点の座標をとすると， は合同なので，点の座標は となるから

図
定理8 の三角比 §

任意の角について

が成り立つ．

図

の三角関数

の三角関数

暗記3 の三角関数

を，それぞれで表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角の動径と 角 (とする)の動径をとる．

点の座標をとすると，は合同なので，点の座標は となるから

図
定理9 の三角比 §

任意の角について

が成り立つ．

図

の三角関数

この節で学んだ公式は丸暗記するようなものではない． 図を書いてすぐに導けるように練習しておこう．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/115（取得日 2026-08-07）

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