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数学II 第3章 三角関数 — 三角関数のグラフ

のグラフとその周辺のグラフ

三角関数の表しかた

三角関数の表しかた

などの三角関数を定義したとき，は角度を意味していた．

しかし，三角関数を，ある数に対応する数を与える式，とより抽象的にみるならば， の意味を角度に限定する必要はない． このため，変数をで表さず， のようにで表すことも多く， 以下でもそのように扱っていく．

のグラフ

のグラフ

関数 について， の範囲で との関係を表にすると，以下のようになる． の値は刻みでとってある．

この関係をグラフで表すと次の図のようになる．

<mjx-container role= のグラフの図その1">

たとえば，前の図の点の座標は動径のなす角がであるときの動点の座標である．

前の図の各点をなめらかにつなぐと次の図のようになる．

<mjx-container role= のグラフの図その2">

さらに，の値が増えるごとには同じ値を取ることに注意して， 任意の実数を定義域としたグラフを書くと，次の図のようになる．

<mjx-container role= のグラフの図その3">

この のグラフに表れる曲線のことを，正弦曲線(sine curve)という．

正弦曲線の値域の長さの半分を振幅(amplitude)という． の振幅はである．

周期関数の定義

周期関数の定義

のように，の変化に応じて同じ値をとる関数は，次のようにまとめることができる．

定義1周期関数の定義 §

関数が，ある正の実数に対して次の条件

どんな実数に対しても が成立

を満たすとき，この関数のことを周期関数(periodic function)という．また，上の条件を満たす実数のうち，正の値で最小のものを， この周期関数の周期(period)という．

注 より厳密には，条件を満たす任意のの値を周期，そのうち最小の正の値を基本周期という． たとえば， の周期は(は整数)，基本周期はとなる． ただし，通常は「周期」という用語で，厳密な意味での「基本周期」を表す．

とおくと， 任意の実数について が成り立つので， 関数 は周期関数であり，周期はである． グラフ においては「が増加するたびに同じ形が表れる」ことになる．

定理2のグラフの特徴 §

振幅,周期の正弦曲線であり，切片は．

の値の増加に対し，の値は増加と減少を交互に繰り返す．

<mjx-container role= のグラフの特徴の図その1">

のグラフとその性質

のグラフとその性質

のグラフとその性質

たとえば， のグラフを軸方向に倍すると のグラフになり， のグラフを軸方向に倍すると のグラフになる．

<mjx-container role= のグラフとその性質の図その1">

定理3のグラフの特徴 §

のグラフを，軸方向に倍したグラフである，

振幅は ,周期は関数 と同じである．

のグラフ

のグラフ

のグラフ

例として，2つの関数

の関係を考えてみよう．

のの値と のの値を一致させるには， のに， のより大きい値を代入しなければならない．

つまり， の正弦曲線は， のグラフを軸方向にだけ平行移動した正弦曲線であると分かる．

このことは，上の表においても確認することができる．

<mjx-container role= のグラフの図その1">

定理4 のグラフ §

のグラフは， のグラフを

「軸方向に平行移動」

したグラフ，周期と振幅も と同じであり，それぞれとである．

のグラフ

のグラフ

のグラフ

例として，関数 のグラフについて考えてみよう．この関数は

となり，結局，がからまで増加する間に，は3度同じ値を繰り返すことが分かる．

注 このように，の括弧は普通省略され，を意味する．

<mjx-container role= のグラフの図その1">

こうして， のグラフを，軸に対して軸方向に倍したグラフが， 関数 のグラフであると分かる．

定理5のグラフ §

のグラフは， のグラフを軸方向に倍したものであり

周期は,振幅はである．

問題1三角関数のグラフ〜その1〜

以下の関数のグラフを書け．また，周期と振幅を求めよ．

解答を見る
  1. なので， のグラフを軸方向に平行移動したグラフになる．

周期は，振幅はである．

← と同じ

三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その１ 2. のグラフを軸方向に平行移動したグラフになる．

周期は，振幅はである．

← と同じ

三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その２ 3. は， の周期をにしたグラフになる．

周期は ，振幅はである．

三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その３ 4. は， の周期を倍したグラフになる．

← 倍

周期は ，振幅はである．

三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その４

のグラフ

のグラフ

のグラフ

たとえば，関数 について考えてみよう．

この関数の式は， と書けるので，次のことが分かる．

  1. 振幅はである．
  2. 周期は と同じである．
  3. を軸方向に平行移動したグラフになる．つまり， のとき であり， のとき， である．

以上より，グラフは次のようになる．

注 厳密には となるが， このような場合，中括弧は省略されることが多い．

<mjx-container role= のグラフの図その1">

定理6 のグラフ §

のグラフは， のグラフを 「軸方向に平行移動」 したグラフである．

周期も振幅も と同じであり，それぞれである．

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く時は，おおよそ次のiii., ii., i.の順で考えるとよい．つまり

  • iii.座標がになるときのの値を求める．正弦曲線はそこから始まる．
  • ii.周期を求め，座標がになるときのの値を求める．これにより，iii.で求めた値から始まる正弦曲線の1周期分の終端が決まる．
  • i.振幅を決める．最後に，切片を計算できる場合は計算する．
問題2三角関数のグラフ〜その2〜

以下の関数のグラフを書け．

解答を見る
  1. なので

三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その１ 2. なので

三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その２ 3. なので

三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その３

、 のグラフとその周辺のグラフ

のグラフ

のグラフ

のグラフ

,つまり のグラフを軸方向に平行移動させたものが， のグラフである． それゆえ， のグラフも正弦曲線になる．

グラフ の周期分を次の図の太線で示した．

<mjx-container role= のグラフの図その1">

定理7のグラフの特徴 §

周期が振幅がの正弦曲線であり，切片がである．

のグラフ

のグラフ

のグラフ

関数 について， の範囲で との関係を表にすると，以下のようになる．の値は刻みでとってある．
― ―

<mjx-container role= のグラフの図その1">

<mjx-container role= のグラフの図その2">

これをグラフで表し，曲線でつなぐと前の図のようになる。

たとえば，単位円の半径はなので，の座標はとなり， これは，の座標と一致する．

さらに，の値が増えるごとに，の値は同じ値を取ったので，を任意の実数を定義域としてグラフを書くと，上の図のようになる．

ここで， の近くでは のグラフがどうなっているか考えてみよう． 次の図は， の付近のグラフを拡大したものである．

  • がからに向かって大きくなるにつれ，座標は無限大へ近づき，グラフは直線 に限りなく近づく．
  • がからに向かって小さくなるにつれ，座標は負の無限大へ近づき，グラフは直線 に限りなく近づく．

このように，曲線がある直線に限りなく近づくとき， 直線を曲線の漸近線(asymptotic line)という．

<mjx-container role= のグラフの図その3">

定理8のグラフの特徴 §

周期がの曲線である．

（は整数）が漸近線になる．

、 のグラフ

のグラフ

基本的には， の時と同じように考えればよい．

たとえば，関数 の場合は， とも表せるので，次のことが分かる．

  • 座標が になるのは のとき．
  • 周期は , 座標が になるのは のとき．
  • 振幅は , 切片は である．

<mjx-container role= 、 のグラフの図その1">

問題3三角関数のグラフ〜その3〜

以下の関数のグラフを書きなさい．漸近線があればその式を求めなさい．

解答を見る
  1. なので

三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その１ 2. なので

三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その２ 3. を軸方向に平行移動すればよいので

三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その３

漸近線は直線 (は整数)になる． 4. なので

三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その４

漸近線は直線 (は整数)になる．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/116（取得日 2026-08-07）

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