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数学II 第3章 三角関数 — 三角関数の加法定理とその応用

三角関数の加法定理

正弦と余弦の加法定理

正弦と余弦の加法定理

2つの角の和や差の三角関数は，それぞれの角の三角関数で表すことができる． まずはじめに

となることを証明してみよう．

【証明】

図のように，点と点をとると， 2点間の距離の公式より

である．

正弦と余弦の加法定理の図その１
正弦と余弦の加法定理の図その１

次に，図のように，2点を原点を中心にだけ回転させた図形を考える． このとき，動径のなす角は となるので，2点間の距離の公式より

よって

正弦と余弦の加法定理の図その２
正弦と余弦の加法定理の図その２
暗記1正弦と余弦の加法定理の導出

上のを利用して，次の等式を証明せよ．

解答を見る

  1. でを におきかえると

←の三角比 2. でを におきかえると

  1. 2.でをにおきかえると

    ←の三角比

定理1正弦と余弦の加法定理 §

問題1正弦と余弦の加法定理
  1. であることに注意して，との値を求めよ．
  2. であることに注意してとの値を求めよ．
解答を見る

  1. 加法定理をもちいて

  2. 加法定理をもちいて

問題2三角関数の加法定理と平面図形

図のようにとがあり， とする．

  1. の値を求めよ．
  2. をを中心に回転移動し，になったとする． このとき，，の座標を求めよ．
図
解答を見る

  1. より，

    ．

  2. 図のように書くことができ，

    三角関数の加法定理と平面図形の解答の図その１
    三角関数の加法定理と平面図形の解答の図その１

    なので．

    であり，

    ←正弦と余弦の加法定理

    より，．

    ←をそれぞれ倍した

正接の加法定理

正接の加法定理

正弦と余弦の加法定理から，次のような正接の加法定理を導くことができる．

【証明】

←分母と分子をで割った

暗記2正接の加法定理の導出

上のを利用して，次の等式を証明せよ．

解答を見る

のをにおきかえると

← の三角比

定理2正接の加法定理 §

問題3正接の加法定理

で， のとき，次の問いに答えよ．

  1. の値を求めよ．
  2. の値を求めよ．
解答を見る

  1. 正接の加法定理より

  2. および， より， である．

2直線のなす角

2直線のなす角

正接の加法定理を利用すると，2直線のなす角の正接の値を求めることができる． そのことを次の例題で確認しよう．

問題42直線のなす角〜その1〜

直線 について，以下の問いに答えよ．

  1. 直線が軸の正の向きとなす角をとするとき，の値を求めよ． ただし，角は反時計回りを正の向きとする．
  2. 2直線のなす鋭角をとする．正接の加法定理を利用しの値を求めよ．
解答を見る

  1. 直線との傾きはそれぞれ，なので，

    である．

  2. なので

    より， となる．

図 以下では，交わる2直線 のなす鋭角について，一般的に考えてみよう．

2直線のなす角の図その１
2直線のなす角の図その１

図のように，直線を平行移動しても2直線のなす角は変わらないので， の場合について考えてゆけばよい．

直線 が軸の正の向きとなす，正の角をそれぞれ とする．

正接の値は直線の傾きを表していたので， である．

いま，正接の加法定理から

と計算できる．

2直線のなす角の図その２
2直線のなす角の図その２

  1. ,すなわち のとき

2直線のなす角の図その３ 2. ,すなわち のとき

いずれにしても， なので，次のようにまとめられる．

定理32直線のなす角 §

直交しない2直線

のなす鋭角をとすると

と表すことができる．

図
問題52直線のなす鋭角〜その2〜
  1. 2直線 なす角をとするとき，の値を求めよ．
  2. 直線 とのなす角がである直線の傾きを求めよ．
解答を見る

  1. それぞれ傾きは なので

  2. 傾きはである2直線のなす角がなので

    よって， または であればよいので， ．

2倍角・半角の公式

2倍角の公式

2倍角の公式

三角関数の加法定理において， とすると， 次の2倍角の公式(formula of double angle)が得られる．

定理42倍角の公式 §

証明

正弦の加法定理 において， とすると

また，正接の加法定理 において， とすると

∎
暗記32倍角の公式の導出

余弦の2倍角の公式

を証明せよ．

解答を見る

余弦の加法定理 において， とすると

より， だから

より， だから

2倍角の公式

2倍角の公式は，三角関数の加法定理から自力で導けるように練習しておこう．

半角の公式

半角の公式

2倍角の公式から，次の半角の公式(formula of half angle)を得る．

定理5半角の公式 §
暗記4半角の公式の導出

次の『半角の公式』を証明せよ．

解答を見る

  1. 余弦の倍角の公式 より

    ここで，をとおきかえて

  2. 余弦の倍角の公式 より

    ここで，をとおきかえて

  3. より

←，を使った

ここで，をとおきかえて

半角の公式

半角の公式も，2倍角の公式から自力で導けるように練習しておこう．

問題6半角の公式の利用

とするとき，をの式で表せ．

解答を見る

より

また，倍角の公式より

なので

三角関数の合成

三角関数の合成について

三角関数の合成について

の形をしている式は，加法定理をもちいてより簡単な形に直すことができる．

図のように，の係数を座標とし，の係数を座標とする点をとり， 線分が軸の正の向きとなす，正の向きの角をとすると

だから

←で式全体をくくった

←を使った

←加法定理を使った

この変形のことを，三角関数の合成(combination of trigonometric function)という．

図
定理6三角関数の合成 §

は

を満たすをもちいて

と変形できる．

図
問題7三角関数の合成

次の三角関数を合成して， の形に変形せよ．の値が求められるときには求めよ(ただし， とする)．

解答を見る

ただし，は図のような角度である．

三角関数を含む関数・方程式・不等式

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

問題8三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜
  1. 関数 の最大値・最小値を求めよ．
  2. のとき，方程式 を解きなさい．
  3. のとき，不等式 を解きなさい．
解答を見る
問題9三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜
  1. 関数 の最大値・最小値を求めよ．
  2. のとき，方程式 を解きなさい．
  3. のとき，方程式 を解きなさい．
  4. のとき，不等式 を解きなさい．
  5. のとき，不等式 を解きなさい．
解答を見る
問題10三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜
  1. のとき，方程式 を解きなさい．
  2. のとき，不等式 を解きなさい．
  3. 関数 の最大値・最小値を求めよ．
解答を見る

  1. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その１
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その１

    とおくと

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その２
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その２

    より， である． この範囲で を満たすは，図より

    なので

  2. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その３
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その３

    とおくと

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その４
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その４

    より， なので，この範囲で上の不等式を満たすは， 図の網掛け部分である．すなわち

    なので

  3. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その５
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その５

    とおくと，

    この三角関数は ．

    より， なので，

    のとき最大値, のとき最小値 ．

    なので

    のとき，最大値

    のとき，最小値

問題11 とおく

関数 について以下の問いに答えよ．

  1. とする．をの式で表せ．
  2. のとりうる値を求めよ．
  3. の最大値・最小値と，それぞれを与えるの値を求めよ．
解答を見る

  1. なので

これを代入すれば

  1. 三角関数の合成より

    tsinx+cosx とおくの解答の図その１
    tsinx+cosx とおくの解答の図その１

    tsinx+cosx とおくの解答の図その２
    tsinx+cosx とおくの解答の図その２

    より， なので 図より である．

    つまり， のとりうる範囲は ．

  2. 1.,2.より， である．これをについて平方完成すると

    tsinx+cosx とおくの解答の図その３
    tsinx+cosx とおくの解答の図その３

    となる．図より，は

    のときで最大， のとき で最小

    となる．それぞれのときのの値を求めると

    以上をまとめて，は

    のときで最大

    のとき で最小

3倍角の公式

3倍角の公式

暗記53倍角の公式の導出

をだけの式で表せ．また，をだけの式で表せ．

解答を見る

←正弦と余弦の加法定理 ←2倍角の公式 ←拡張された三角関数の相互関係 ←正弦と余弦の加法定理 ←2倍角の公式 ←拡張された三角関数の相互関係

定理73倍角の公式 §
問題123倍角の公式の利用

のとき，不等式 を満たすを求めよ．

解答を見る

なので

の範囲でこれを解いて，

図

三角関数の和と積の公式

積和の公式

積和の公式

加法定理を組み合わせることにより，次のような公式が得られる．

定理8三角関数の積を和に変換する公式 §
証明

  1. 正弦についての加法定理

    において， より

  2. 同じく より

∎
暗記6積和の公式の導出

次の等式を証明せよ．

解答を見る

  1. 余弦についての加法定理

    において， より

  2. 同じく より

積和の公式

この公式は，三角関数の積を三角関数の和で書き換えるという意味があり， 三角関数の次数を下げる効果がある． FTEXT 数学IIIで学ぶ三角関数の積分法などでよくもちいられる．

和積の公式

和積の公式

三角関数の積を和に変換する公式について

とおくと， より ， より であるから， 次の公式を得る．

定理9三角関数の和を積に変換する公式 §

和積の公式

和を積に変換する公式には，因数分解のような効果があるため， 三角関数を含む方程式・不等式を解く際にもちいられることが多い．

問題13三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜
  1. のとき，方程式 を解け．
  2. のとき，不等式 を解け．
解答を見る

← に着目．

   や   に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

←三角関数の和を積に変換する公式

←共通因数ができた

←三角関数の和を積に変換する公式

それぞれの方程式を解くと

  より



  より



  より

よって， 

．

← に着目．

   や   に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

←三角関数の和を積に変換する公式

←共通因数ができた

←三角関数の和を積に変換する公式

ここで， より である．

  1. ，つまり， のときは不適．
  2. より，は となる．
  のとき

← を解くと

上の式を，下の式をとする．

三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜 の解答の図その１

なので， ．

  のとき

← を解くと

上の式を，下の式をとする．

三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜 の解答の図その２

なので， ．

以上をまとめて

    
  ．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/117（取得日 2026-08-07）

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