数学II 第4章 指数と指数関数 — 指数の拡張

指数の整数への拡張

の意味

の意味

の意味

指数法則1.は，指数が自然数の場合，すなわち，正の整数の場合について成り立つ性質であるが， ここでは，指数をや負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう．

仮にという数があったとして，その意味について考えてみよう． が「をかけた数」であったから，は「を 回かけた数」とでもなるのであろうが， 「 回かける」では意味不明である．

そこで，「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で 矛盾が生じないよう「 回かける」を決められないか（意味づけられないか） 少し考えてみよう．

たとえば， という計算があったとして，これが指数法則1.を満たすとすると

となる．ここで，をで表すと

となる．この式を満たすを求めると， である． つまり，はであると考えると都合がよい．

の意味

の意味

また， という計算があったとして，これが指数法則1.を満たすとすると

となる．ここで，をで表すと

となる．この式を満たすを求めると， である．つまり，はであると考えると都合がよい．

指数の整数への拡張について

指数の整数への拡張について

一般に，指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において，指数がのときにも成り立つとすると

であるから， と考えると都合がよい．

さらに，指数法則1.がを正の整数として， のときにも成り立つとすると

であるから， と考えると都合がよい（が負の整数の場合も同様である）．

指数の有理数への拡張

の意味

の意味

の意味

今度は，整数に拡張された指数法則2.を使って，指数を有理数に拡張することを考えよう．

たとえば，指数部分が有理数である，という数の意味は何だろうか． が「を回かけた数」であったから，は「を回かけた数」とでもなるのであろうが， 「回かける」では意味不明である．

そこで，やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする．

たとえば，(という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2.を満たすとすると

となる．ここで，をで表すと

となる．この式を満たすは，の平方根であるから，はであると考えられる （もうひとつの平方根はであると考えればよい）．

の意味

の意味

の意味

また，仮にという数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2.を満たすとすると

となる．ここで，をで表すと

となる．この式を満たすは，の立方根であり， となる． つまり，はであると考えられる．

指数の有理数への拡張について

指数の有理数への拡張について

以上の話を一般化して， のとき，有理数を指数とする数を定義してみよう．

整数に拡張された指数法則2.が， を，を（は自然数） としても成り立つとすると

すなわち，乗するとになるので，はの乗根（のうち正の方）と考えればよい．

指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

指数の実数への拡張について

指数が無理数の場合にも，を定めることができる．たとえば，では， だから

を考えると，これらはある一定の値に近づいていくので，その値をと定める． このようにして，無理数に対して，を定めると，指数法則が成り立つことが知られている．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/119（取得日 2026-08-07）