数学II 第4章 指数と指数関数 — 指数関数

のグラフ

指数が自然数の場合

指数が自然数の場合

ここでは，を定数とし， で表される関数について考えていく． 以下では，例として の場合，つまり のグラフについてみていく．

指数の拡張でみてきたように，指数が自然数の場合， 整数の場合，有理数の場合と段階を追って確認していくことにする．

まず，が自然数の場合には，関数 の値は表のようにまとめることができる．

これらの値の組を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる． ただし， のときはの値が大きいので，グラフには入りきっていない．

指数が整数の場合

指数が整数の場合

が整数の場合には，関数 の値は表のようにまとめることができる．

これらの値の組を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる． なお，が や などのときには

として計算している．

指数が有理数の場合

指数が有理数の場合

が有理数の場合には，が整数の場合に加えて，さらに がややなどの場合も含まれる．

がこれらの値となるときのの値は

などと計算できるので，表のようにまとめることができる．

これらの値の組を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．

注 ルートの値を求める計算については，開閉計算を参照のこと

指数関数の性質

単調増加関数と単調減少関数

単調増加関数と単調減少関数

いままでみてきた結果から， のグラフは右に進むにつれ，上にあがっていく形になることが予想されるが， それを厳密に示すためにはどうすればよいだろうか．

の値が増えるにつれ，の値も増えることを示したいのだから，さまざまな（任意の）値に対して

が証明できればよい．次の例題でそのことを確認してみよう．

問題1指数関数の単調性

関数 について，次のことを証明せよ．ただし，は任意の有理数とする．

解答を見る

以上を参考に， のグラフを描くと，右図のような曲線を描くことがわかる． この のように，の値が増加すると常にの値も増加するような関数を単調増加関数という． このことを次にまとめておこう．

定義1単調増加関数と単調減少関数の定義 §

関数の定義域内の任意の実数について

注 を満たすとき，（広義の）単調増加関数という場合もある． また，（広義の）単調減少関数も同様である．

次に，関数 のグラフを考えてみよう．

関数 のに を代入すると

と計算できるが，これは関数 のにを代入したときの値と等しい． これより， のグラフは，図のように のグラフと軸に関して対称となるのがわかる． 関数 は単調減少関数になっている．

関数 はの値に応じて，次のように変化する．

指数関数の定義

指数関数の定義

の乗根の表し方でもみたように， 負の数の乗根は存在する場合と存在しない場合があり，それはが実数のときでも同様である． 簡単のため，以下では の場合についてだけ考えるものとする．

また， のときはは常にとなり，それ以外の場合と大きく挙動が異なるので， のときは（関数としては考えることができるが）指数関数というくくりには入れないことにする．

指数関数の性質について

指数関数の性質について

のグラフから学んできたことは，次のようにまとめることができる． 指数関数 のグラフを見ながら1つ1つ確認しよう．

定理3指数関数の性質 §

指数関数 について，次のようにまとめることができる．

指数関数の性質について

のときは，との大小関係と，との大小関係は逆になることに注意しよう． たとえば， だが である．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/120（取得日 2026-08-07）