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数学II 第5章 対数と対数関数 — 対数の計算法則

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

和と差に関する対数の性質について

常用対数表には，を底とする対数の概算値がまとめてある． この表によれば

なので

が成り立っているのがわかる． このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

定理1和と差に関する対数の性質 §

は ， を満たし， ， とするとき

  • 1'.

が成り立つ．

たとえば， ， などもいえる．

和と差に関する対数の性質について

似ているが，下の式は成立しないので気をつけよう．

暗記1和と差に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

  • 1'.

に，を底とする対数を考えることにより，和と差に関する対数の性質

  • 1’.

を証明せよ．

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問題1和と差に関する対数の性質の練習

， とするとき，次の対数をで表せ．

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実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

なので

が成り立っているのがわかる． このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

定理2実数倍に関する対数の性質 §

は ， を満たし， ， は任意の実数のとき

が成り立つ．

実数倍に関する対数の性質について

真数にある指数はの前に飛び出す，と覚えよう．

たとえば， ， などもいえる．

暗記2実数倍に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

に，を底とする対数を考えることにより，実数倍に関する対数の性質

  • 2'.

を証明せよ．

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問題2対数の計算-その1-

次の式を簡単にせよ．

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  1. 式を変形すると 和と差に関する対数の性質 対数の定義
  2. 式を変形すると 実数倍に関する対数の性質 和と差に関する対数の性質 対数の定義
  3. 式を変形すると 実数倍に関する対数の性質 和と差に関する対数の性質 対数の定義
  4. 式を変形すると 実数倍に関する対数の性質 和と差に関する対数の性質

底の変換公式

底の変換公式について

ある対数の値は，底の違う別の対数の比で表すことができ

となる．

この式を使えば，たとえば底がの対数であるも，常用対数表をもちいて

と計算することができる．

定理3底の変換公式 §

は正の数で， ， のとき

が成り立つ．特に， のとき， である．

この公式を使うことにより，底の違う対数の和や差も，底をそろえ，計算できるようになる． これについては後の例題でみる．

暗記3底の変換公式の証明

が成り立っているとして，を定数とする対数を考えることにより，底の変換公式

を証明せよ． ただし，は正の数であり， ， とする．

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問題3対数の証明-その2-

次の式を簡単にせよ．

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問題4底の変換公式の活用
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対数と指数の関係

対数と指数の関係について

が成り立つとき，対数の定義より である． この を に代入することにより

が成り立つ．

この式が成り立つ理由は次のように考えられる．

まず，は対数の定義から 「は何乗するとになるのか？」という問いの答えであった． そして，その値を実際に の指数としてもちいるのだから，それがになるのは当然である．

定理4対数と指数の関係 §

は ， を満たし， のとき

が成り立つ．

問題5対数と指数の関係の利用

次の式を簡単にせよ．

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元記事: http://www.ftext.org/text/section/122（取得日 2026-08-07）

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