数学B 第1章数列の一般項と和 — 数列とは何か

数列の定義

数列とは何か

人にプレゼントを贈るため、今日から少しずつ貯金をしていく例を考える。今の貯金は $0$ 円だとして、毎日貯金してお金をためていく。最初は少額の $1$ 円からスタートして、1日ごとに $2$ 円ずつ金額を増やしていくことにする。つまり、次のように貯金していく。

1円（初日）、3円（2日目）、5円（3日目）、7円（4日目）、9円（5日目）、11円（6日目）、 $\dots$

この

$1,3,5,7,9,11,\dots$

のように、数を順にならべたものを数列(sequence)という。そして、数列の中の数ひとつひとつを、その数列の項(term)という。特に、一番はじめの項のことを初項(first term)といい、2番目の項を第2項、3番目の項を第3項、 $N$ 番目の項を第 $N$ 項、一番最後の項を末項(last term)という。

一般的には、数列の各項を

$a1,a2,a3,\dots an,\dots$

のように、文字に項の番号を右下に添えて書く。また数列全体を ${an}$ と書く。

漸化式とは何か

この数列では、 $n$ 日目( $n$ は自然数とする)に貯金する金額を $an$ で表すと

$an+1=an+2$

という関係が常に成り立つ(ここで、 $a1$ は初日の金額を表すので、 $a1=1$ である)。

実際、この式の $n$ に $1$ や $2$ を代入してみると

$a2=a1+2 a3=a2+2$

となり、 $a1=1$ だから、 $a2=1+2=3$ として確かに2日目の貯金額が導かれる。また、 $a2=3$ だから、 $a3=3+2=5$ として3日目の貯金額が導かれる。

この $an+1=an+2 (n=1,2,3,\dots)$ のように、となり合ういくつかの項の間に、すべての $n$ について成り立つ関係式のことを、漸化式ぜんかしき(recurrence formula)という。

以上をまとめると、この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る。

$a1=1,an+1=an+2 (n=1,2,3,\dots)$

問題1漸化式から数列の項を求める

次の条件によって定められる数列 ${an}$ の第5項までを書き出せ。

$a1=1,an+1=an+n²$
$a1=2,an+1=3an+2$
$a1=1,an+1=5an+2^n$
$a1=1,an+1=5an+n$
$a1=2,a2=5,an+2=5an+1-6an$
$a1=2,an+1=(2an+2)/(an+3)$

解答を見る

$a1=1$ 、 $an+1=an+n²$ に $n=1,2,3,4$ を順に代入して $a2=a1+1²=2 a3=a2+2²=6 a4=a3+3²=15 a5=a4+4²=31$ よって、 $1, 2, 6, 15, 31$
$a1=2$ 、 $an+1=3an+2$ より $a2=3・2+2=8 a3=3・8+2=26 a4=3・26+2=80 a5=3・80+2=242$ よって、 $2, 8, 26, 80, 242$
$a1=1$ 、 $an+1=5an+2^n$ より $a2=5・1+2¹=7 a3=5・7+2²=39 a4=5・39+2³=203 a5=5・203+2⁴=1031$ よって、 $1, 7, 39, 203, 1031$
$a1=1$ 、 $an+1=5an+n$ より $a2=5・1+1=6 a3=5・6+2=32 a4=5・32+3=163 a5=5・163+4=819$ よって、 $1, 6, 32, 163, 819$
$a1=2$ 、 $a2=5$ 、 $an+2=5an+1-6an$ より

前の2つの項から次の項が決まる

$a3=5a2-6a1=5・5-6・2=13 a4=5a3-6a2=5・13-6・5=35 a5=5a4-6a3=5・35-6・13=97$ よって、 $2, 5, 13, 35, 97$
$a1=2$ 、 $an+1=(2an+2)/(an+3)$ より $a2=(2・2+2)/(2+3)=6/5 a3=(2・6/5+2)/(6/5+3)=(22/5)/(21/5)=22/21 a4=(2・22/21+2)/(22/21+3)=(86/21)/(85/21)=86/85 a5=(2・86/85+2)/(86/85+3)=(342/85)/(341/85)=342/341$ よって、 $2, 6/5, 22/21, 86/85, 342/341$

数列の一般項

さきほどの例では、10日目にはいったい何円貯金しなければならないだろうか?

実際に数列を書き並べて

$1 2 3 4 5 6 7 8 9 ［10］ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,11,13,15,17,19$

とすれば、19円貯金しなければならないことがわかるが、これでは20日目や50日目の貯金額を知りたいときにかなり面倒である。

そこで、別の見方を考えてみよう。

たとえば、「日にち」と「貯金額」との対応を見たときに、 $円［1］\times2-1=1円$ 、 $円［2］\times2-1=3円$ 、 $円［3］\times2-1=5円,\dots$ だから

$日にち貯金額 (日にち)\times2-1=(貯金額)$

であることに気がつけば、10日目に貯金しなければならない金額 $a10$ は

$円 a10=10\times2-1=19円$

と求めることができる。この方法を使えば、20日目の貯金額 $a20$ は $円 a20=20\times2-1=39円$ 、 50日目の貯金額 $a50$ は $円 a50=50\times2-1=99円$ と簡単に求めることができる。

さらに、 $n$ 日目の貯金額 $an$ は

$円 an=n\times2-1=2n-1円$

と表すことができる。

このように、数列の第 $n$ 項（ $n$ 日目の貯金額）が $n$ （ $n$ 日目）の式で表されているとき、その第 $n$ 項を一般項(general term)という。一般項が求まれば、 $n$ に自然数を順次代入することによって、数列の各項を求めることができる。

問題2数列の一般項

数列 ${an}$ の一般項が、次の式で与えられているとき、初項から第5項までを書き出せ。

$an=2n$
$an=2^n$
$an=(2n+1)/n$
$an=2^n/(n+1)$

解答を見る

$an=2n$ に $n=1,2,3,4,5$ を代入して $2, 4, 6, 8, 10$
$an=2^n$ に $n=1,2,3,4,5$ を代入して $2, 4, 8, 16, 32$
$an=(2n+1)/n$ に $n=1,2,3,4,5$ を代入して $3, 5/2, 7/3, 9/4, 11/5$
$an=2^n/(n+1)$ に $n=1,2,3,4,5$ を代入して $1, 4/3, 2, 16/5, 16/3$

数列の和

10日目に貯金しなければいけない金額はわかった。次に、10日間で貯金できた合計金額を考えてみよう。

初日に1円、2日目に3円、3日目に5円、 $\dots$ 、10日目に19円貯金するのだから、金額を順に足していくことにより

$円 1+3+5+7+9+11+13 +15+17+19=100 [円]$

となり、ちょうど100円貯金できたことがわかる。

ここで、数列の初項から第 $n$ 項までの和を $Sn$ と表すことにする。いまの例では、10日間の貯金の合計金額が $S10=100$ 円である。

しかし、この考え方では、20日間や50日間で貯金した合計金額を知りたいときに相当面倒である。そこで、別の見方を考えてみよう。

S10=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19という式で、両端の1と19から順に内側の9と11まで、ペアとなる2つの項を結ぶ丸1から丸5の線が下に描かれている。

上記のように両端から順にペアを組ませると、ペア同士の和が全て同じ数値「 $20$ 」になることに気がつけば

$円 S10=20\times10/2=100 [円]$

と求めることができる。（ペアの個数は、元の項数10の半分となる。）

この方法を使えば、 $S20,S50$ も次のように求めることができる。

$円円 S20=1+3+5+\dots+35+37+39 =40\times20/2=400 [円] S50=1+3+5+\dots+95+97+99 =100\times50/2=2500 [円]$

さらに、 $n$ 日間で貯金できた合計金額 $Sn$ は

$円 Sn=1+3+\dots+(2n-3)+(2n-1) =2n\timesn/2=n² [円]$

と表すことができる。（ $S10,S20,S50$ のときと同じで、ペア1組の和 $2n$ が $n/2$ 組あるということである。）

ここで、貯金が1万円になるまでの日数を考えると、 $Sn=10000$ という方程式を考えて

$Sn=10000 \Leftrightarrow n²=10000 n=100$

より100日間とわかる。つまり、最初1円からスタートしても3ヶ月あまりで達成できる。意外と早いものだ。

最終更新: 2026-08-20

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