数列とは何か
数列の定義
数列とは何か
人にプレゼントを贈るのため，今日から少しずつ貯金をしていく例を考える．今の貯金は $0$ 円だとして，毎日貯金してお金をためていく．最初は少額の $1$ 円からスタートして，1日ごとに $2$ 円ずつ金額を増やしていくことにする．つまり，次のように貯金していく．
この
\[1,3,5,7,9,11,\cdots\]のように，数字をならべたものを数列(sequence)という．そして，数列の中の数ひとつひとつを，その数列の項(term)という．特に，一番はじめの項のことを初項(first term)といい，2番目の項を第2項，3番目の項を第3項， $N$ 番目の項を第 $N$ 項，一番最後の項を末項(last term)という．
一般的には，数列の各項を
\[a_1,a_2,a_3,\cdots a_n,\cdots\]のように，文字に項の番号を右下に添えて書く．また数列全体を $\{a_n\}$ と書く．
漸化式とは何か
この数列では， $n$ 日目( $n$ は自然数とする)に貯金する金額を $a_n$ で表すと
\[a_{n+1}=a_n+2\]という関係が常に成り立つ(ここで， $a_1$ は初日の金額を表すので， $a_1=1$ である)．
実際，この式の $n$ に $1$ や $2$ を代入してみると
\begin{align} a_2&=a_1+2\\ a_3&=a_2+2 \end{align}となり， $a_1=1$ だから， $a_2=1+2=3$ として確かに2日目の貯金額が導かれる．また， $a_2=3$ だから， $a_3=3+2=5$ として3日目の貯金額が導かれる．
この $a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)$ のように，ある項 $(a_n)$ と別のある項 $(a_{n+1})$ との間に成り立つ関係式のことを，
以上をまとめると，この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る．
\[a_1=1,a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)\]漸化式から数列の項を求める
次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の第5項までを書き出せ．
- $a_1=1,a_{n+1}=a_n+n^2$
- $a_1=2,a_{n+1}=3a_n+2$
- $a_1=1,a_{n+1}=5a_n+2^n$
- $a_1=1,a_{n+1}=5a_n+n$
- $a_1=2,a_2=5,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$
- $a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{2a_n+2}{a_n+3}$
-
\begin{align}
a_1&=1\\
a_2&=1+2^2=5\\
a_3&=5+3^2=14\\
a_4&=14+4^2=30\\
a_5&=30+5^2=55
\end{align}
より， $\boldsymbol{1,5,14,30,55}$ である．
\begin{align} a_1&=2\\ a_2&=3\cdot2+2=8\\ a_3&=3\cdot8+2=26\\ a_4&=3\cdot26+2=80\\ a_5&=3\cdot80+2=242 \end{align}より， $\boldsymbol{2,8,26,80,242}$ である．
\begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+2=7\\ a_3&=5\cdot7+2^2=39\\ a_4&=5\cdot39+2^3=203\\ a_5&=5\cdot203+2^4=1031 \end{align}より， $\boldsymbol{1,7,39,203,1031}$ である．
\begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+1=6\\ a_3&=5\cdot6+2=32\\ a_4&=5\cdot32+3=163\\ a_5&=5\cdot163+4=819 \end{align}より， $\boldsymbol{1,6,32,163,819}$ である．
\begin{align} a_1&=2\\ a_2&=5\\ a_3&=5\cdot5-6\cdot2=13\\ a_4&=5\cdot13-6\cdot5=35\\ a_5&=5\cdot35-6\cdot13=97 \end{align}より， $\boldsymbol{2,5,13,35,97}$ である．
\begin{align} a_1&=2\\ a_2&=\frac{2\cdot2+2}{2+3}=\frac{6}{5}\\ a_3&=\frac{2\cdot\frac{6}{5}+2}{\frac{6}{5}+3}=\frac{22}{21}\\ a_4&=\frac{2\cdot\frac{22}{21}+2}{\frac{22}{21}+3}=\frac{86}{85}\\ a_5&=\frac{2\cdot\frac{86}{85}+2}{\frac{86}{85}+3}=\frac{342}{341} \end{align}より， $\boldsymbol{2,\dfrac{6}{5},\dfrac{22}{21},\dfrac{86}{85},\dfrac{342}{341}}$ である．
数列の一般項
数列の一般項
さきほどの例では，10日目にはいったい何円貯金しなければならないだろうか?
実際に数列を書き並べて
\begin{align} &\boxed1\ \boxed2\ \ \boxed3\ \boxed4\ \ \boxed5\ \boxed6\ \ \boxed7\ \boxed8\ \ \boxed9\ \boxed{10}\\ &\ 1\ ,\ 3\ ,\ 5\ ,\ 7\ , \ 9\ ,11,13,15,17,19 \end{align}とすれば，19円貯金しなければならないことがわかるが，これでは20日目や50日目の貯金額を知りたいときにかなり面倒である．
そこで，別の見方を考えてみよう．
たとえば，「日にち」と「貯金額」との対応を見たときに， $\boxed{1}\times2−1=1円$ ， $\boxed{2}\times2−1=3円$ ， $\boxed{3}\times2−1=5円,\cdots$ だから
\[(日にち)\times2−1=(貯金額)\]であることに気がつけば，10日目に貯金しなければならない金額 $a_{10}$ は
\[a_{10}=10\times2−1=19円\]と求めることができる．この方法を使えば，20日目の貯金額 $a_{20}$ は $a_{20}=20\times21=39円$ ， 50日目の貯金額 $a_{50}$ は $a_{50}=50\times2−1=99円$ と簡単に求めることができる．
さらに， $n$ 日目の貯金額 $a_n$ は
\[a_n=n\times2−1=2n−1円\]と表すことができる．
このように，数列の第 $n$ 項（ $n$ 日目の貯金額）が $n$ （ $n$ 日目）の式で表されているとき，その第 $n$ 項を一般項(general term)という．一般項が求まれば， $n$ に自然数を順次代入することによって，数列の各項を求めることができる．
数列の一般項
数列 $\{a_n\}$ の一般項が，次の式で与えられているとき，初項から第5項までを書き出せ．
- $a_n=2n$
- $a_n=2^n$
- $a_n=\dfrac{2n+1}{n}$
- $a_n=\dfrac{2^n}{n+1}$
-
\begin{align}
a_1&=2\cdot1=2\\
a_2&=2\cdot2=4\\
a_3&=2\cdot3=6\\
a_4&=2\cdot4=8\\
a_5&=2\cdot5=10
\end{align}
より， $\boldsymbol{2,4,6,8,10}$ である．
\begin{align} a_1&=2^1=2\\ a_2&=2^2=4\\ a_3&=2^3=8\\ a_4&=2^4=16\\ a_5&=2^5=32 \end{align}より， $\boldsymbol{2,4,8,16,32}$ である．
\begin{align} a_1&=\frac{2+1}{1}=3\\ a_2&=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\\ a_3&=\frac{6+1}{3}=\frac{7}{3}\\ a_4&=\frac{8+1}{4}=\frac{9}{4}\\ a_5&=\frac{10+1}{5}=\frac{11}{5} \end{align}より， $\boldsymbol{3,\dfrac{5}{2},\dfrac{7}{3},\dfrac{9}{4},\dfrac{11}{5}}$ である．
\begin{align} a_1&=\frac{2^1}{1+1}=1\\ a_2&=\frac{2^2}{2+1}=\frac{4}{3}\\ a_3&=\frac{2^3}{3+1}=2\\ a_4&=\frac{2^4}{4+1}=\frac{16}{5}\\ a_5&=\frac{2^5}{5+1}=\frac{16}{3} \end{align}より， $\boldsymbol{3,\dfrac{4}{3},2,\dfrac{16}{5},\dfrac{16}{3}}$ である．
数列の和
数列の和
10日に貯金しなければいけない金額はわかった．次に，10日間で貯金できた合計金額を考えてみよう．
初日に1円，2日目に3円，3日目に5円， $\cdots$ ，10日目に19円貯金するのだから，金額を順に足していくことにより
\begin{align} &1+3+5+7+9+11+13\\ &\qquad+15+17+19=100 [円] \end{align}となり，ちょうど100円貯金できたことがわかる．
しかし，この考え方では，20日間や50日間で貯金した合計金額を知りたいときに相当面倒である．そこで，別の見方を考えてみよう．
上記のように両端から順にペアを組ませると，ペア同士の和が全て同じ数値「 $20$ 」になることに気がつけば
\[S_{10}=20\times\frac{10}{2}=100 [円]\]と求めることができる．（ペアの個数は，元の項数10の半分となる．）
この方法を使えば， $S_{20},S_{50}$ も次のように求めることができる．
\begin{align} S_{20}&=1+3+5+\cdots+35+37+39\\ &=40\times\frac{20}{2}=400 [円]\\ S_{50}&=1+3+5+\cdots+95+97+99\\ &=100\times\frac{50}{2}=2500 [円] \end{align}さらに， $n$ 日間で貯金できた合計金額 $S_n$ は
\begin{align} S_n&=1+3+\cdots+(2n−3)+(2n−1)\\ &=2n\times\frac{n}{2}=n^2 [円] \end{align}と表すことができる．
ここで，貯金が1万円になるまでの日数を考えると， $S_n=10000$ という方程式を考えて
\begin{align} S_n&=10000\\ \Leftrightarrow\ n^2&=10000\\ n&=100 \end{align}より100日間とわかる．つまり，最初1円からスタートしても3ヶ月弱で達成できる．意外と早いものだ．