等差数列

等差数列の一般項

等差数列の定義

（無題）

数列とは何かでとりあげた貯金の例のように，初項 $a$ に順次，一定の数 $d$ (公差(common difference)という)を加えて得られる数列のことを等差数列(arithmetic sequence)という．

具体的に数列を書き表すと

となる．

また，等差数列は漸化式を用いて

\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_n+d\quad(n=1,2,3,\cdots) \tag{1}\label{tousasuretunoteigi} \end{cases}

と表すこともできる．

試しに，この漸化式 $\eqref{tousasuretunoteigi}$ の $n$ に $1,2,3$ を代入すると，確かに $a+d,a+2d,a+3d$ が作られるのがわかる．

等差数列の一般項

この等差数列の第 $N$ 項つまり一般項 $a_N$ は

「第 $N$ 項は初項 $a$ に $d$ を $N−1$ 個加えたもの」

と考えて

\[a_N=a+(N−1)d\]

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_N$ を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式を $a_{n+1}−a_n=d$ と変形し， $n$ に $1,2,3,\cdots,N−2,N−1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．

\begin{array}{rlclcl} a_2&-&a_1&=&d\\ a_3&-&a_2&=&d\\ &&\vdots&&\\ a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\ a_N&-&a_{N-1}&=&d \end{array}

STEP2

すべての式の辺々を加え合わせる．

\begin{array}{rlclcl}&a_2&-&a_1&=&d\\&a_3&-&a_2&=&d\\&&&\vdots&&\\&a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\+)&a_N&-&a_{N-1}&=&d\\\hline&a_N&-&a_1&=&(N-1)d\end{array}

よって， $a_1=a$ であることに注意して，次式を得る．

\[a_N=a+(N-1)d\]

$n$と$N$を混合してもちいる

さきほどSTEP1で使った文字 $N$ は「ある $N$ 番目」という意味で用いた．ただし慣例では $“N”$ ではなく $“n”$ を使うので，今後このテキストでもこの慣例に従い，特別 $N$ を使用せずに $n$ を使うものとする．

しかし，こうするとSTEP1で「 $n$ に $1,2,3,\cdots,n-2,n-1$ を代入」と表現されることになり「 $n$ に $n-1$ を代入する？」と誤解を招きやすい．

最初の $n$ は $1,2,3,\cdots$ を代入するための変数であり，後の $n-2,n-1$ に含まれる $n$ は定数として用いられており，同じ $n$ でも別物として取り扱うことに注意しよう．

等差数列の漸化式と一般項

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の漸化式は

\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_n+d\quad(n=1,2,3,\cdots) \end{cases}

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の一般項 $a_n$ は

\[a_n=a+(n-1)d\quad(n=1,2,3,\cdots)\]

等差数列の一般項～その１～

次の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．また，第10項を求めよ．

  1. $2,5,8,11,14,\cdots$
  2. $100,98,96,94,92,\cdots$

  1. 初項が2，公差が3の等差数列であり，第 $n$ 項(一般項)は初項 $a_1$ に公差 $d$ を $n-1$ 回加えることによって求められるので
    2. \[a_n=2+(n-1)3=\boldsymbol{3n-1}\]

    また，第10項は $a_{10}=3\cdot10-1=\boldsymbol{29}$ である．

  2. 初項が100，公差が-2の等差数列だから
    3. \[a_n=100+(n-1)\cdot(-2)=\boldsymbol{-2n+102}\]

    また，第10項は $a_{10}=-2\cdot10+102=\boldsymbol{82}$ である．

等差数列の一般項～その２～

次の条件を満たす等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

  1. 初項が $13$ ，第4項が $22$
  2. 第3項が $1$ ，第10項が $-13$

  1. 等差数列は公差が一定であるので，条件からまず公差を求めよう．初項から第4項までは，公差が3回足されるので，公差を $d$ とすると
    2. \begin{align} 3d&=a_4−a_1=22-13=9\\ \therefore\ d&=3\\ \blacktriangleleft\ d&=\frac{a_4-a_1}{4-1} \end{align}

    よって， $a_n=13+(n-1)\cdot3=\boldsymbol{3n-10}$ となる．

    【別解】

    等差数列の一般項は $a_n=a_1+(n-1)d$ として与えられるので，問題の条件から $a_1$ と $d$ の連立方程式を立てることができる．初項を $a$ ，公差を $d$ とすると

    \begin{align} a_1&=a=13\\ a_4&=a+3d=22 \end{align}

    となる．これらを連立させて解くと

    \[a=13,d=3\]

    よって， $a_n=13+(n-1)\cdot3=\boldsymbol{3n-10}$ となる．

  2. 第3項から第10項までは，公差が7回足されるので，公差を $d$ とすると
    3. \begin{align} 7d&=a_{10}−a_3=-13-1=-14\\ \therefore\ d&=-2\\ \blacktriangleleft\ d&=\frac{a_{10}-a_3}{10-3} \end{align}

    第10項から第 $n$ 項までは，公差が $n-10$ 回足されるので

    \begin{align} a_n&=a_{10}+(n-10)d\\ &=-13+(n-10)\cdot(-2)\\ &=\boldsymbol{-2n+7} \end{align}

    【別解】

    初項を $a$ ，公差を $d$ とすると

    初項が3であるから $\qquad a+2d=1$

    第10項が−13であるから $\ a+9d=-13$

    となる．これらを連立させて解くと

    \[a=5,d=-2\]

    よって， $a_n=5+(n-1)\cdot(-2)=\boldsymbol{-2n+7}$ となる．

等差数列の一般項～その３～

第12項が $43$ ，第27項が $223$ である等差数列がある．このとき， $295$ はこの数列の第何項か．

この数列の初項を $a$ ，公差を $d$ とすると

\[a_n=a+(n-1)d\]

ここで $a_{12}=43,a_{27}=223$ であるから

\begin{align} 43&=a+11d\\ 223&=a+26d \end{align}

これを解いて， $a=-89,d=12$ ．

よって一般項 $a_n$ は

\[a_n=-89+(n-1)\cdot12=12n-101\]

ここで $295$ が第 $n$ 項であるとすると

\[295=12n-101\]

これを解いて， $n=33$ ．

したがって， $295$ はこの数列の $\boldsymbol{第33項}$ である．

等差数列の和

等差数列の和の求め方

ここでは，等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてみよう．

STEP1

等差数列の一般項 $a_n=a+(n-1)d$ に， $1,2,\cdots,n-1,n$ を代入して足し合わせる式を書く．

\begin{array}{c} &&&\fbox{1}&&\fbox{2}\\ &S_n&=&a&+&(a+d)\\ &&&\fbox{3}\\ &&+&(a+2d)&+&\cdots\\ &&&\fbox{n-2}&&\fbox{n-1}\\ &&+&\{a+(n-3)d\}&+&\{a+(n-2)d\}\\ &&&\fbox{n}\\ &&+&\{a+(n-1)d\} \end{array}

STEP2

この式の右辺を，逆に並べて書く．

\begin{array}{c} &&&\fbox{n}&&\fbox{n-1}\\ &S_n&=&\{a+(n-1)d\}&+&\{a+(n-2)d\}\\ &&&\fbox{n-2}\\ &&+&\{a+(n-3)d\}&+&\cdots\\ &&&\fbox{3}&&\fbox{2}\\ &&+&(a+2d)&+&(a+d)\\ &&&\fbox{1}\\ &&+&a \end{array}

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる．

右辺は全て $2a+(n-1)d$ であり，これが $n$ 個存在するので

\begin{align} 2S_n&=\{2a+(n-1)d\}\times n\\ S_n&=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\} \end{align}

と表すことができる．これが求めたかった等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $S_n$ である．

なお， $2a+(n-1)d=a_1+a_n$ より

\[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\]

と表すこともできる．

以上，等差数列の和についてまとめておこう．

等差数列の和

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

\begin{align} S_n&=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}\\ &=\frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{align}

と表せる．

吹き出し無題

等差数列の和の公式は

\[(等差数列の和)=\frac{項数}{2}\times\left((初項)+(末項)\right)\]

と覚えておくとよい．つまり，等差数列の和は「項数」と「初項」と「末項」という3 つの要素がわかれば求めることができる．

等差数列の和～その１～

次の等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ．また， $S_{10}$ を求めよ．

  1. $2,5,8,11,14,\cdots$
  2. $100,98,96,94,92,\cdots$

  1. 初項が2，公差が3の等差数列だから，この数列の般項 $a_n$ は
    2. \[a_n=2+(n-1)3=3n-1\]

    よって，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

    \[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{\frac{n(3n+1)}{2}}\]

    また，初項から第10項までの和 $S_{10}$ は

    \[S_{10}=\frac{10\cdot(3\cdot10+1)}{2}=\boldsymbol{155}\]
  2. 初項が100，公差が-2の等差数列だから，この数列の一般項 $a_n$ は
    3. \[a_n=100+(n-1)\cdot(-2)=-2n+102\]

    よって，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

    \[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{n(101-n)}\]

    また，初項から第10項までの和 $S_{10}$ は

    \[S_{10}=10\cdot(101-10)=\boldsymbol{910}\]

等差数列の和～その２～

1から50までの整数のうち，次のような数の和を求めよ．

  1. 2の倍数
  2. 3の倍数
  3. 2または3の倍数

  1. $A_2=\{2,4,6,\cdots,50\}$ は，初項2，項数25，末項50の等差数列であるから，求める和 $S_2$ は
    2. \[S_2=\frac{1}{2}\cdot25(2+50)=\boldsymbol{650}\]
  2. $A_3=\{3,6,9,\cdots,48\}$ は，初項3，項数16，末項48の等差数列であるから，求める和 $S_3$ は
    3. \[S_3=\frac{1}{2}\cdot16(3+48)=\boldsymbol{408}\]
  3. 2または3の倍数の和 $S$ は， $S=S_2+S_3-S_6$ で与えられるので， $S_6$ を求めればよい． $A_6=\{6,12,18,\cdots,48\}$ は，初項6，項数8，末項48の等差数列であるから， $S_6$ は
    4. \[S_6=\frac{1}{2}\cdot8(6+48)=216\]

    よって

    \[S_6=650+408−216=\boldsymbol{842}\]

等差数列の和の最大値

一般項 $a_n$ が $a_n=−6n+120$ である数列 $\{a_n\}$ について，以下の問に答えよ．

  1. 初めて負になる項は第何項目か．
  2. 初項からの和が最大になるのは，第何項目までの和か．また，その和の最大値を求めよ．

  1. $a_n=-6n+120$ が負になるのは
    2. \begin{align} &-6n+120\lt0\\ \Leftrightarrow\ &6n\gt120\\ \Leftrightarrow\ &n\gt20 \end{align}

    つまり， $n=21$ のとき $a_n$ は負となる．よって，初めて負になるのは $\boldsymbol{第21項目}$ である．

  2. 1. より，初項から第20項までの項は，すべて正，あるいは0なので， $S_{20}$ が初項からの和の最大値となる．また， $a_{20}=0$ であるから， $S_{20}=S_{19}$ であり，こちらも最大値である．よって，和が最大になるのは， $\boldsymbol{第19項目または第20項目}$ である．

    3. このとき，最大値は

    \begin{align} S_{19}&=\frac{19}{2}\cdot(a_1+a_{19})\\ &=\frac{19}{2}\cdot(114+6)\\ &=\boldsymbol{1140}\\ \blacktriangleleft S_{20}&=\frac{20}{2}\cdot(a_1+a_{20})\\ &=\frac{20}{2}\cdot(114+0)\\ &=1140 \end{align}

    【別解】

    一般項が $a_n=-6n+120$ である等差数列の和 $S_n$ は

    \begin{align} S_n&=\frac{n}{2}\{114+(-6n+120)\}\\ &=\frac{1}{2}(-6n+234)\\ &=-3n^2+117n \end{align}

    となり， $S_n$ が2次関数で与えられていることがわかる．下図のグラフより， $n$ が整数であることに注意すると，この $S_n$ が最大値をとるのは $\boldsymbol{n=19,20}$ のときである．