いろいろな数列
$a_n=$(等差数列の項)$\times$(等比数列の項)
$a_n=$(等差数列の項)$\times$(等比数列の項)の和
この $\eqref{annowa}$ のように， $(等差数列)\times(等比数列)$ で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．
STEP1
初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を書き下す．
\[S_n=\underbrace{1+2\cdot2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-2}+n\cdot2^{n-1}}_{n個の項}\]STEP2
この式の辺々を2倍(公比倍)した式を書く．
\[2S_n=\underbrace{1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}+n\cdot2^n}_{n個の項}\]STEP3
上の2つの式を並べる．このとき，下のように，2倍(公比倍)した式の方を右に1段ずらして書いておく．
STEP4
上の式から下の式を引く．
STEP5
このとき，必ず等比数列の和が現れるので，その部分を計算する．
\begin{align} -S_n&=\underbrace{1+1\cdot2+1\cdot2^2+\cdots+1\cdot2^{n-2}+1\cdot2^{n-1}}_{初項1公比2の等比数列}\\ &\qquad-n\cdot2^n\\ &=\frac{1\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^n\\ &=2^n-1-n\cdot2^n\\ &=-(n-1)2^n-1 \end{align}式全体に $-1$ を掛けて
\[S_n=(n-1)2^n+1\]を得る．
解法をまとめておこう．
$a_n=(等差数列の項)\times(等比数列の項)$ の和の解法
STEP1:和を書き下す．
STEP2:和を公比倍したものを書く．
STEP3:上の2式をずらして並べる．
STEP4:項のかたまりを崩さないように差を取る．
STEP5:等比数列の和を見つけて計算し， $S_n$ を求める．
等差 $\times$ 等比型数列の和～その１～
次の和 $S$ を求めよ．
\[S=1+3\cdot2+5\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^{n-1}\]公比を掛けて差をとると
\begin{align} S&=1+3\cdot2+5\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^{n-1}\\ 2S&=1\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^n \end{align}より
\begin{align} &-S\\ =&\ 1+2(2+2^2+\cdots+2^{n-1})-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ 1+2\cdot\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ 1+2\cdot(2^n-2)-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ -3-(2n-3)\cdot2^n \end{align}よって， $\boldsymbol{S=3+(2n-3)\cdot2^n}$ である．
等差 $\times$ 等比型数列の和～その２～
次の和 $S$ を求めよ．
\[S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\]$x=1,x\neq1$ で場合分けを行なう．
- $x=1$ のとき \begin{align} S&=1+2+3+\cdots+n\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{2}n(n+1)} \end{align}
- $x\neq1$ のとき \begin{align} S&=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\\ xS&=x+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n \end{align}
より
\begin{align} (1-x)S&=1+(x+x^2+\cdots+x^{n-1})-nx^n\\ &=1+\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}-nx^n\\ \end{align}$\blacktriangleleft$ 初項 $x$ ，公比 $x$ ，項数 $n-1$ の等比数列の和
よって
\begin{align} S&=\frac{1-nx^n}{1-x}+\frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}\\ &=\frac{(1-nx^n)(1-x)+x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}\\ &=\boldsymbol{\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}} \end{align}$a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$
分数列の和
この $\eqref{bunsuretunowa}$ のように，一般項 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる
STEP1
まず $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ を分解する．このとき，下のように自分で $a$ とおく( $a$ の値は後で求める)．
\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\]$\blacktriangleleft$ 分母の $n(n+1)$ を分解して $n$ と $n+1$ にする
このような式変形を，部分分数分解(resolve into partial fractions)という．
STEP2
右辺を通分し， $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるように $a$ を決定する．
\begin{align} &\ \frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\\ =&\ \frac{a(n+1)}{n(n+1)}-\frac{an}{n(n+1)}\\ &\blacktriangleleft\frac{1}{n(n+1)}で通分した\\ =&\ \frac{a}{n(n+1)} \end{align}これが， $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるのは，(分子を比較して) $a=1$ のときである．これより
\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]$\blacktriangleleft$ 分解が完了した
という等式を得る．
STEP3
右辺の式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．
\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align}STEP4
相殺して消える部分ができるので，下のように消していく．
\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ =&\ \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\ =&\ \frac{n}{n+1} \end{align}よって
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\]を得る．
解法をまとめておこう．
$a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ の数列の和の解法
STEP1 $\colon$ 部分分数に分解する．
STEP2 $\colon$ 部分分数の係数を決定する．
STEP3 $\colon$ 具体的に和を書き出してみる．
STEP4 $\colon$ 相殺して消える部分があるので消し， $S_n$ を求める．
分数数列の和
次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ．
\[\frac{1}{1\cdot3},\frac{1}{3\cdot5},\frac{1}{5\cdot7},\cdots\]一般項を求めて部分分数に分解する．
一般項 $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ より
\begin{align} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}&=\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) \end{align}よって
\begin{align} S_n&=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\\ +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}\\ &=\frac{n}{2n+1} \end{align}