$\Sigma$記号

$\Sigma$記号の定義

$\Sigma$記号の定義

（無題）

ここで，数列の和を表すのに便利な記号 $\Sigma$ を導入する

$\Sigma$ 記号の定義

数列 $\{a_n\}$ の初項から，第 $n$ 項までの和 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n$ を， $\Sigma$ 記号を用いて

\[a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n=\sum^{n}_{k=1}a_k\]

と表す．

つまり， $\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k$ とは， $a_k$ において， $k=1,2,3,\cdots,n-1,n$ として得られるすべての項 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{n-1},a_n$ の和であると定義する．文字 $k$ の代わりに， $i,j$ などを用いてもよい．

また， $a_1$ ではなく $a_2$ からの和を表したいときには， $\displaystyle\sum^{n}_{k=2}a_k$ と書けばよい．つまり

\[\sum^{n}_{k=2}a_k=a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n\]

である．

$\Sigma$記号に慣れる

まずは $\Sigma$ 記号に慣れるために，例題をみていくことにしよう．

$\Sigma$ 記号の練習～その１～

次の和を， $\Sigma$ 記号を用いずに表せ(計算はしなくてよい)．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2k-1)$
  2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{4}3k^2$
  3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}3$
  4. $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}3^j$
  5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2n-1)$

  1. \[\sum_{k=1}^{3}(2k-1)=\boldsymbol{1+3+5}\]
  2. \[\sum_{k=2}^{4}3k^2=\boldsymbol{3\cdot2^2+3\cdot3^2+3\cdot4^2}\]
  3. \[\sum_{i=1}^{n}3=\boldsymbol{3+3+3+\cdots+3}\]

    $\blacktriangleleft$ 3は全部で $n$ 個ある

  4. \[\sum_{j=1}^{n}3^j=\boldsymbol{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^n}\]
  5. \begin{align} &\sum_{k=1}^{3}(2n-1)\\ =&\ \boldsymbol{(2n-1)+(2n-1)+(2n-1)}\\ \end{align}

    $\blacktriangleleft$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}$ の変数は $k$ なので $a_k=2n-1$ であり，この数列の値は $k$ に何を代入しても $2n-1$ となる

次に数列の和を $\Sigma$ 記号に書き直してみよう．

$\Sigma$ 記号の練習～その２～

次の和を， $\Sigma$ 記号を用いて表せ．

  1. $1^2+2^2+3^2+\cdots+7^2$
  2. $3+5+7+\cdots+(2n+1)$
  3. $3+3+3+\cdots+3$

    4. (3は全部で $n$ 個あるとする)

  4. $1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot7$

$\Sigma$ 記号に書き直すときには，まずは数列の一般項を求めるとよい．そうすれば数列の和が

\[\sum_{k=(最初の項番号)}^{(最後の項番号)}(一般項)\]

と表現することが出来るようになる．

  1. \[1^2+2^2+3^2+\cdots+7^2=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{7}k^2}\]

    $\blacktriangleleft$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}k^2$ 以外にも $\displaystyle\sum_{k=2}^{8}(k-1)^2,\sum_{k=0}^{6}(k+1)^2$ と表せる

  2. \[3+5+7+\cdots+(2n+1)=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}(2k+1)}\]
  3. \[\underbrace{3+3+3+\cdots+3}_{n個}=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}3}\]
  4. \begin{align} &1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot7\\ =&\ \boldsymbol{\sum_{k=1}^{5}k(k+2)} \end{align}

$\Sigma$ 記号の練習～その３～

次の和はどれも同じことを表現していることを確認せよ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k$
  2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}$
  3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2\cdot2^{i-1})$

$\Sigma$ 記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい．和はそれぞれ

  1. \[\sum_{k=1}^{n}2^k=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n\]
  2. \[\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n\]
  3. \begin{align} &\sum_{i=1}^{n}(2\cdot2^{i-1})\\ =&\ 2\cdot2^0+2\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+2\cdot2^{n-1}\\ =&\ 2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n \end{align}

となり，同じことを表現している．

$\Sigma$の性質

$\Sigma$の性質

$\Sigma$ を導入した理由は，数列の和を簡単に取り扱うためであった．つまり，

\[3+1,6+4,9+9,\cdots,3n+n^2\tag{1}\label{sigmanoseisitu}\]

のような等差数列でも等比数列でもない数列についても和を考えやすくするためである．その際，よく利用される $\Sigma$ の計算法則があるので，まずはその計算法則を確認しよう． $\Sigma$ 記号に関して，次のことが成り立つ．

$\Sigma$ 記号の性質

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k\qquad(cは定数)$

【証明】

  1. \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)\\ =&\ (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)\\ &\qquad+\cdots+(a_{n-1}+b_{n-1})+(a_n+b_n)\\ =&\ (a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n)\\ &\ (b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_n)\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k \end{align}
  2. \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}ca_k\\ =&\ ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_{n-1}+ca_n\\ =&\ c(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n)\\ =&\ c\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align}

吹き出し無題

これらは，それぞれ

  1. $\Sigma$ 記号は和のところで分配できる
  2. $\Sigma$ 記号内の実数倍は $\Sigma$ 記号の $\dot{表}\dot{に}\dot{出}\dot{る}$

と意味をもたせて覚えるとよい．

この性質を利用すると，数列 $\eqref{sigmanoseisitu}$ の第 $n$ 項までの和は

\[\sum_{k=1}^{n}(3k+k^2)=3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k^2\]

と簡単にすることができる．

あとは $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ や $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ がわかれば，数列 $\eqref{sigmanoseisitu}$ の和を求めることができるわけであるが，これら $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ や $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ については次の $\Sigma$ 記号の公式 でまとめて学習することにしよう．

$\Sigma$記号の公式

$\Sigma$記号の公式

複雑な数列の和が計算できるように，ここでは $\Sigma$ 記号の公式を学んでいこう．

暗記基本的な $\Sigma$ の計算～その１～

次の数列の和を求めよ．ただし， $c$ は定数とする．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}c=\underbrace{c+c+c+\cdots+c}_{n個}=\boldsymbol{nc} \end{align}

    $\blacktriangleleft$ $n$ 個の $c$ の和は $nc$ である

  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}k=\underbrace{1+2+3+\cdots+n}_{n個}=\boldsymbol{\frac{n(n+1)}{2}} \end{align}

    $\blacktriangleleft$ 初項1，公差1の等差数列の和である

暗記基本的な $\Sigma$ の計算～その２～

等式

\begin{align} k(k+1)&=\dfrac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)\} \end{align}

を利用して

\[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]

を証明せよ．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\right]\\ &\ \blacktriangleleft等式を利用した\\ =&\ \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\ =&\ \frac{1}{3}[\ \ (1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2)\\\\ &\quad+(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3)\\\\ &\quad+(3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4)\\\\ &\quad+\cdots\\\\ &\quad+\{(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\}\\\\ &\quad+\{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\}]\\\\ &\ \blacktriangleleft数列を書き下すことにより項が相\\ &\quad\ \ 殺して消えていくことがわかる\\\\ =&\ \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \end{align}

なので

\begin{align} &\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}\left(k^2+k\right)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^{n}k \end{align}

よって

\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k^2&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}2n(n+1)(n+2)-\frac{1}{6}3n(n+1)\\ &\blacktriangleleft\frac{1}{6}で通分した\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{2(n+2)-3\}\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{align}

自然数の累乗の和

数列の和に関して，次の式がなりたつ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
  3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
  4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$

$\Sigma$ の計算

次の数列の和を求めよ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)^2$

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)&=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)+3\}\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)} \end{align}
  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}(2k+1)^2&=\sum_{k=1}^{n}(4k^2+4k+1)\\ &=4\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1\\ &=4\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n\\ &=\frac{1}{3}n\{2(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+6(n+1)+3\}\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{3}n(4n^2+12n+11)} \end{align}

等比数列の$\Sigma$計算

$c$ は定数として， $\sum c^{(kの1次式)}$ タイプの和は，すべて等比数列の和として求めることができる．

等比数列の $\Sigma$ 計算

次の数列の和を求めよ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^k$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k$
  3. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}3^k$
  4. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}3^{k-1}$
  5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^{2k-1}$

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^n}_{n個}\\ &=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^n-1)}{2}} \end{align}
  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\ &=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}} \end{align}
  3. \begin{align} \sum_{k=2}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{n-1}}_{n-2個}\\ &=\frac{3^2(1-3^{n-2})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{9(3^{n-2}-1)}{2}} \end{align}
  4. \begin{align} \sum_{k=2}^{n}3^{k-1}&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\ &=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}\\ &\blacktriangleleft 2. と同じ答えである \end{align}
  5. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}3^{2k-1}&=\underbrace{3^1+3^3+3^5+\cdots+3^{2n-1}}_{n個}\\ &=3+3\cdot9+3\cdot9^2+\cdots+3\cdot9^{n-1}\\ &=\frac{3(1-9^n)}{1-9}=\boldsymbol{\frac{3(9^n-1)}{8}} \end{align}

吹き出し無題

繰り返しになるが， $\sum c^{(kの1次式)}$ タイプの和は，等比数列の和として求めることができる．和を求める際には，数列の和を一度書き下してみて，初項と公比と項数をチェックすればよい．