和から一般項へ

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．

ここでたとえば， $S_3=9$ であり， $S_4=16$ であるとき

\begin{align} S_4&=a_1+a_2+a_3+a_4\\ S_3&=a_1+a_2+a_3 \end{align}

であるから，上の式から下の式を引くと

\[S_4-S_3=a_4\]

を得る．よって， $a_4=S_4-S_3=16-9=7$ であることがわかる．

一般に，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ から，初項から第 $n-1$ 項までの和 $S_{n-1}$ を引くことにより，第 $n$ 項 $a_n$ を求めることができる．つまり

と求めることができる．

ただし，この式が意味をもつのは $n\geqq2$ においてである． $a_1$ は別に求めなければならないが， $a_1=S_1$ からすぐに求めることができる．

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

\begin{align} &S_n-S_{n-1}=a_n\qquad(n\geqq2)\\ &S_1=a_1 \end{align}

として，一般項 $a_n$ を求めることができる．

初項から第 $n$ 項までの和が次の式で表される数列の第 $n$ 項を求めよ

\[S_n=n^3\]

$n\geqq2$ において

\begin{align} a_n&=S_n-S_{n-1}\\ &=n^3-(n-1)^3\\ &=3n^2-3n+1\tag{1}\label{wakaraippankou} \end{align}

ここで， $a_1=S_1=1$ であり， $\eqref{wakaraippankou}$ は $n=1$ のときでも成立する．よって， $n\geqq1$ において $\boldsymbol{a_n=3n^2−3n+1}$ となる．