群数列
群数列の定義
群数列とは何か
下の数列のように，いくつかのまとまりで数列を考えたものを群数列(group sequence)という．
群数列では，次のように各群に番号をつけ，「第～群」と呼ぶことにしよう．
たとえば
第3群は $(9,11,13,15,17)$ である．
第4群の一番初めの項は， $19$ である．
などのように用いる．
また
のように，群で区切られてなくても，数列に何らかのまとまりがある場合には，下のよう に仕切りを入れて，自分で群にまとめるとよい．そうすることで群内の規則に注目でき，解答を進めることができるようになる．
群数列の基本的な考え方
群数列を考える際のポイント
群数列を見たら，問題を考える前に，まず次の2つの点について調べておくとよい．
- 第 $n$ 項 $a_n$ がわかるときは求めておく．
- 第1群から第 $n$ 群までにいくつの項があるのか調べその数を $l_n$ とおく．
前ページの例で調べてみよう．
この数列は，初項1公差2の等差数列であるから
\[a_n=1+(n-1)\times2=2n-1\]とわかる．
また，第1群には項が1個，第2群には項が3個，第3群には項が5個， $\cdots$ ，第 $n$ 群には項が $2n-1$ 個あるのがわかる．よって，第1群から第 $n$ 群までに含まれる項の数 $l_n$ は
\begin{align} l_n&=1+3+5+\cdots+(2n-1)\\ &=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 \end{align}と求まる．
もう1 つの例でも試してみよう．
この例で第 $n$ 項はすぐにわかりそうにない．
また，第1群には項が1個，第2群には項が2個，第3群には項が3個， $\cdots$ ，第 $n$ 群には項が $n$ 個あるのがわかる．よって，第1群から第 $n$ 群までに含まれる項の数 $l_n$ は
\begin{align} l_n&=1+2+3+\cdots+n\\ &=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} \end{align}これら2つのポイントを押さえると，群数列の問題が考えやすくなる．
群数列
次の数列について各問題に答えよ
\[\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{5}{6}\]- $\dfrac{18}{25}$ ははじめから数えて第何項目にあるか．
- はじめから数えて第666項目にある分数は何か．
- 初項から第666項までの和を求めよ．
- 次のように群分けをおこなう．
- 第666項が含まれる群を求める．666項が第 $n$ 群に含まれるとすると \begin{align} &(第n-1群までの項数)\lt666\\ &\qquad\lt(第n項までの項数)\\ \Leftrightarrow&\ \frac{1}{2}(n-1)n\lt666\lt\frac{1}{2}n(n+1) \end{align}
- 第 $n$ 群に含まれる項の和 $S_n$ は \begin{align} S&=\frac{n}{n+1}+\frac{n-1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n}\\ &=\frac{1}{n+1}\{n+(n-1)+\cdots+1\}\\ &=\frac{1}{n+1}(1+2+\cdots+n)\\ &=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{n}{2} \end{align}
規則より， $\dfrac{18}{25}$ は第24群に存在していることがわかる．第 $n$ 群に含まれる項数が $n$ であることを考えると，第23群までの項数は
\begin{align} 1+2+3+\cdots+23&=\frac{1}{2}\cdot23(1+23)\\ &=276 \end{align}よって，第24群の第1項は，最初から数えて277番目になる． $\dfrac{18}{25}$ は第24群の第7項なので
\[277+7-1=283\]以上より， $\dfrac{18}{25}$ は最初から数えて $\boldsymbol{283}$ 番目の項となる．
これを満たす $n$ は $n=36$ である． $\dfrac{1}{2}(36-1)36=630$ より，第36群の第1項は，最初から数えて631番目である． $666-631+1=36$ なので，最初から数えて第666項目の分数は，第36群の第36項であり， $\boldsymbol{\dfrac{1}{37}}$ である．
よって，第666項までの和は第36群までの和で
\begin{align} \sum_{k=1}^{36}\frac{k}{2}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}36\cdot37\\ &=\boldsymbol{333} \end{align}