漸化式の基本

初項5，公比3の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は，第1章で学んだ通り，次のように表される．

\[a_n=5\cdot3^{n-1}\]

この数列を漸化式で表現すると，次のようになる．

\begin{align} a_{n+1}&=3a_n\tag{1}\label{zenkasikinokihon1}\\ a_1&=5\tag{2}\label{zenkasikinokihon2} \end{align}

ここで逆に，条件 $\eqref{zenkasikinokihon1},\eqref{zenkasikinokihon2}$ が与えられた数列を考えると， $\eqref{zenkasikinokihon2}$ より初項が定まり，あとは $\eqref{zenkasikinokihon1}$ に順に $n=1,2,3,\cdots$ と代入することにより

\begin{align} a_2&=3\cdot a_1=15\\ a_3&=3\cdot a_2=45\\ a_4&=3\cdot a_3=135\cdots \end{align}

とただ一通りに数列 $\{a_n\}$ が定められる．

このように，数列のある項と別のある項との間に成り立つ関係式のことを，漸化式と定義していた．

漸化式から数列の項を求める(再掲)

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の第5項までを書き出せ．

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+n^2$
$a_1=2,a_{n+1}=3a_n+2$
$a_1=1,a_{n+1}=5a_n+2^n$
$a_1=1,a_{n+1}=5a_n+n$
$a_1=2,a_2=5,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$
$a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{2a_n+2}{a_n+3}$

漸化式から数列の項を求める(再掲)の解答

より， $\boldsymbol{1,5,14,30,55}$ である．

より， $\boldsymbol{2,8,26,80,242}$ である．

より， $\boldsymbol{1,7,39,203,1031}$ である．

より， $\boldsymbol{1,6,32,163,819}$ である．

より， $\boldsymbol{2,5,13,35,97}$ である．

より， $\boldsymbol{2,\dfrac{6}{5},\dfrac{22}{21},\dfrac{86}{85},\dfrac{342}{341}}$ である．

実は上記の例題の問題は全て異なるタイプの漸化式となっている．以降では，それらをひとつひとつピックアップして学んでいく．その前に，それぞれの特徴を簡単に説明しておこう．

階差型漸化式

$a_{n+1}$ と $a_n$ の係数が同じであるタイプ．条件式から階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ の式を導くことができ，階差数列から一般項を求める．これについては階差数列ですでに学んだ．

線形2項間漸化式

$a_{n+1}$ と $a_n$ の係数が異なっており，かつ定数が加えられるタイプ．特性方程式という特殊な方程式を活用し，一般項を求める．

変形階差型漸化式( $r^2$ タイプ)

$a_{n+1}$ と $a_n$ の係数が異なっており，かつ $r^2$ が加えられるタイプ．特性方程式か階差数列を利用して，一般項を求める．

変形階差型漸化式( $n^k$ タイプ)

$a_{n+1}$ と $a_n$ の係数が異なっており，かつ $n^k$ が加えられるタイプ．一般的には階差数列を利用して，一般項を求める．

線形3項間漸化式

$a_{n+2}$ と $a_{n+1}$ と $a_n$ の3項による関係式が与えられるタイプ．3項間漸化式の特性方程式を活用し，一般項を求める．

分数型漸化式

分数型となっているタイプ．一般的には分数型漸化式の特性方程式を活用し，一般項を求める．

なお漸化式の基本的な解き方として，等比数列の形に帰着させることを覚えておくと良い．以降では各タイプを具体的にみていくことにする．