加法定理と排反事象
さいころ投げにおいて、例えば「偶数の目が出る」という事象と「3以下の目が出る」という事象には共通している事象、つまり「2の目が出る」という事象がある。このように、2つの事象において、共通の事象がある場合や、無い場合について、ここでは整理してみる。
和事象と積事象
和事象と積事象について
さいころを1回投げる試行を考えよう．この試行において，標本空間 $U$ を
\[U=\{1,2,3,4,5,6\}\]とすると，「偶数の目が出る」という事象 $A$ ，「3以下の目が出る」という事象 $B$ は
\[A=\{2,4,6\},B=\{1,2,3\}\]と表すことができる．
いま，「偶数の目が出るか，または，2以下の目が出る」という事象は， $A$ と $B$ の和集合で
\[A\cup{B}=\{2,4,6\}\cup\{1,2,3\}=\{1,2,3,4,6\}\]と表すことができる．
また，「偶数の目が出て，かつ，2以下の目が出る」という事象は， $A$ と $B$ の共通部分で
\[A\cap{B}=\{2,4,6\}\cap\{1,2,3\}=\{2\}\]と表すことができる．
和事象と積事象
標本空間 $U$ の部分集合で表される2つの事象 $A,B$ において「 $A$ または $B$ 」を $A$ と $B$ の
和事象(sum event)
という．和事象は和集合 $A\cup{B}$ で表される（図参照）.
また「 $A$ かつ $B$ 」を $A$ と $B$ の
積事象(product event)
という．積事象は共通部分 $A\cap{B}$ で表される （図参照）.
加法定理と排反事象について
加法定理
説明文
ある試行の標本空間 $U$ と，事象 $A,B$ について考える．
事象 $A,B$ に包含と排除の原理を用いると
\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\]が成り立つ．この両辺を標本空間 $U$ の根元事象の個数 $n(U)$ で割ると
\[\frac{n(A\cup{B})}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap{B})}{n(U)}\] \begin{align} \therefore\ P(A\cup{B})=&P(A)+P(B)\\ &\ -P(A\cap{B})\tag{1}\label{kahouteiri} \end{align}が成り立つ．
この $\eqref{kahouteiri}$ のことを，確率の加法定理(addition theorem)という．
加法定理
ある試行における事象 $A,B$ について
\[P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\]が成り立つ．
吹き出し無題
$P(A\cup{B})$ を求めるのに， $P(A)$ と $P(B)$ を加えたのでは， $P(A\cap{B})$ を2回加えたことになる．そこで，余分な1回分の $P(A\cap{B})$ を引くのだと考えると覚えやすい．イメージは下の図のようになる．
加法定理
2個のさいころ $A,B$ を同時に投げるとする． さいころ $A$ で3の目が出るか，またはさいころ $B$ で3の目が出る確率を求めよ．
$A$ ：「 $A$ のさいころで3の目が出る」
$B$ ：「 $B$ のさいころで3の目が出る」
とすると，求める確率は $P(A\cup{B})$ である．
いま， $P(A),P(B)$ は
\[P(A)=P(B)=\frac{1}{6}\]である．
また，2つのさいころの目の出方は $6^2$ 通りあり， このうちともに3の目となるのは1通りであるから， $P(A\cap B)$ は
\[P(A\cap B)=\frac{1}{36}\]となる．
以上より
\begin{align} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\boldsymbol{\frac{11}{36}} \end{align}排反事象
説明文
さいころを1回投げる試行において，偶数の目が出る事象 $A=\{2,4,6\}$ と，奇数の目が出る事象 $B=\{1,3,5\}$ は同時に起こることがない．別のいいかたをすれば，同時に起こらない事象の積事象は，次のように空事象になる．
\[A\cap{B}=\{2,4,6\}\cap\{1,3,5\}=\emptyset\]一般に，2つの事象 $A,B$ が同時に起こることがないとき， $A$ と $B$ は互いに
排反事象の加法定理
事象 $A,B$ において， $A$ と $B$ が同時に起こらないとき，すなわち
\[A\cap{B}=\emptyset\]が成り立つとき， $A$ と $B$ は互いに排反であるという．
また，このとき $P(A\cap{B})=0$ であるから，加法定理より
\[P(A\cup{B})=P(A)+P(B)\]が成り立つ．
3つ以上の事象でも，どの２つも互いに排反であるとき，それらの事象は排反であるという．
排反事象～その1～
ジョーカーを含まない52枚のトランプの中から1枚のカードを引く．
事象 $A,B,C,D$ を
$A$ ： $\diamondsuit$ のカードを引く $\qquad B$ ： $\clubsuit$ のカードを引く
$C$ ： 3のカードを引く $\qquad D$ ： 10以上のカードを引く
とする．次のうち，排反事象となるものをすべて選べ．
- $A$ と $B$
- $B$ と $C$
- $C$ と $D$
- $D$ と $A$
- $\diamondsuit$ であり， $\clubsuit$ であるトランプ存在しない，つまり同時に起こりえないので， $A$ と $B$ は排反である．
- $\clubsuit$ であり，3であるカードは存在する（ $\clubsuit$ の3），つまり同時に起こりえるので， $B$ と $C$ は排反ではない．
- 3であり，10以上であるカードは存在しない，つまり同時に起こりえないので， $C$ と $D$ は排反である．
- 10以上であり， $\diamondsuit$ であるカードは存在する（例えば $\diamondsuit$ の11），つまり同時に起こりえるので， $D$ と $A$ は排反ではない．
以上より，排反事象となるのは1. と3. である．
排反事象～その2～
10本のくじの中に当りくじが3本ある．この中から4本のくじを同時に引くとき， 少なくとも2本の当りくじを引く確率を求めよ．
少なくとも2本の当りくじを引くのは，2本の当りくじを引く場合と，3本の当りくじを引く場合があり，
これらは排反な事象である．
まず，10本のくじの中から4本のくじを引く組合せの $_{10}\mathrm{C}_{4}=210$ 通りは，どれも同様に確からしい．
このうち，2本の当りくじと2本のはずれくじを引く場合は
$_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{2}=63$ 通り
あり，3本の当りくじと1本のはずれくじを引く場合は
$_{3}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{1}=7$ 通り
ある.
よって，求める確率は
\[\frac{63}{210}+\frac{7}{210}=\boldsymbol{\frac{1}{3}}\]余事象とその確率
余事象
事象 $A$ に対して，“ $A$ が起こらない”という事象を $A$ の余事象(complementary event)といい， $\overline{A}$ で表す．余事象 $\overline{A}$ は，事象 $A$ を表す集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ で表される．
余事象 $\overline{A}$ のさらに余事象は，“ $A$ が起こる”という事象 $A$ にもどる．
事象 $A$ と $\overline{A}$ は互いに排反で，それらの和事象 $\mathit{A}\cup\overline{A}$ は標本空間 $U$ である．
余事象の確率
説明文
補集合の要素の個数より
\[n(\overline{A})=n(U)-n(A)\]が成り立つ．この両辺を， $n(U)$ で割ると
\[\frac{n(\overline{A})}{n(U)}=1-\frac{n(A)}{n(U)}\] \[\therefore P(\overline{A})=1-P(A)\]が成り立つ．
余事象の確率
事象 $A$ と，その余事象 $\overline{A}$ において
\[P(\overline{A})=1-P(A)\]が成り立つ．
吹き出し無題
このことは，ある事象 $A$ の確率を求めるのが大変な場合， むしろ $A$ の余事象 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである， ということを教えてくれる．
余事象
3つのさいころを同時に振るとき，少なくとも1つのさいころで3の倍数の目が出る確率を求めよ．
事象 $A$ を
$A$ ：「3つのさいころで3の倍数の目が出ない」
とおくと，求める確率は $P(\overline{A})$ である．
3つのさいころの目の重複順列 $_{6}\Pi_{3}=6^3=216$ 通りは，どれも同様に確からしい．
このうち，3の倍数の目がまったく出ないのは（3の倍数でない目が1，2，4，5と4つあるので）
$_{4}\Pi_{3}=4^3=64$ 通り
よって，3の倍数の目が出ない確率 $P(A)$ は
\[P(A)=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}\]求める確率は $P(\overline{A})$ なので
\[P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{8}{27}=\boldsymbol{\frac{19}{27}}\]となる．