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ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義

ベクトルのなす角その1

ベクトルのなす角その1

→0 でない2 つの →a，→b に対して，点 O を始点として

→a=→OA, →b=→OB

となるように点 A，B をとる．このとき，∠AOB の大きさ θ は，→a，→b によって決まる．この θ を，→a と →b のなす角(included angle) という．

ベクトルのなす角その2

ベクトルのなす角その2

→a と →b のなす角は，→a と →b が同じ向きのときは 0∘ であり，→a と →b 向きがすれるにつれだんだん大きくなり，→a と →b が開ききって互いに逆向きとなるとき 180∘ となる．

ベクトルのなす角その3

ベクトルのなす角その3

それ以上ベクトルが開いたときには，角度の狭いほうをなす角とするので，→a と →b のなす角 θ の取り得る範囲は 0∘≦ となる．

ベクトルの正射影と有向距離

（注）

ベクトルの正射影と有向距離の図その１

\vec{0} でない2 つの\vec{a}，\vec{b} に対して，点\text{O} を始点として

\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}

となるように点\text{A}，\text{B} をとる．

いま，右図の点\text{B} からから直線\text{OA} に下ろした垂線の足を\text{H} とする．このとき，\overrightarrow{\text{OH}}を\vec{b} の\vec{a} への正射影(orthogonal projection) ベクトルといい_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} と表す．正射影ベクトル_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} は，\vec{a}，\vec{b} とそのなす角\thetaを用いて次のように表すことができる．

  1. \boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ} のとき

    ベクトルの正射影と有向距離の図その２
    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}



    2. ベクトルの正射影と有向距離の図その３

  2. \boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ} のとき

    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= −\dfrac{\text{OB} \cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

つまり，0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ で_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}と表せる．この\left|\vec{b}\right| \cos \thetaの値のことを，_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}の有向距離または符号付長さという．

なお，_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} の大きさは

\left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| =\left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right| =\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta\right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b} \cos \theta\right|

で表される．

【例】

ベクトルの正射影と有向距離の図その４

ますめの一辺の長さが1 の右図において

  1. _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} の有向距離は4
  2. _{\vec{c}\rightarrow}\vec{a} の有向距離は4
  3. _{\vec{d}\rightarrow}\vec{a} の有向距離は0
  4. _{\vec{e}\rightarrow}\vec{a} の有向距離は−2
  5. _{\vec{f}\rightarrow}\vec{a} の有向距離は−4

となる．