ベクトルの内積

1. $$\begin{align} &(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &= \vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= \vec{c} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{b} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1. \end{align}$$
2. $$\begin{align} &(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a} + v\vec{b})\\ &= (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) + (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (v\vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= (s\vec{a}) \cdot (u\vec{a}) + (t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) \\ &\qquad + (s\vec{a}) \cdot (v\vec{b}) + (t\vec{b}) \cdot (v\vec{b})\\ &\qquad \blacktriangleleft 1.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + tu(\vec{b} \cdot \vec{a}) \\ &\qquad + sv(\vec{a} \cdot \vec{b}) + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則2.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= su \left|\vec{a}\right|^2+ (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv \left|\vec{b}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft 定義 \end{align}$$

1. （×）$\vec{a}$ はベクトルで$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数．よって，ベクトルと実数の和となり無意味である．
2. （○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\vec{c}$ はベクトル．よって，$\vec{c}$ の$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 倍の意味をもつ．
3. （×）2 つの$\cdot$のうち，どちらを内積の記号とみるかで意味するものが異なるので無意味である．
4. （○）$\vec{b} \cdot \vec{c}$ は実数で$\vec{a}$ はベクトル．よって，$\vec{a}$ の$\vec{b} \cdot \vec{c}$ 倍の意味をもつ．
5. （×）ベクトルに除法はないので，分母に$\vec{a}$ がある時点で無意味である．
6. （○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\left|\vec{a}\right|$ も実数であるのでその比を表す．

1. $\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とおき， $\left|\vec{a}\right|$ を三角形の底辺とみると，高さは $\left|\vec{b}\right| \sin \theta$ とかけるから，三角形の面積$S$ は

   $$\begin{align} S &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \times \left|\vec{b}\right| \sin \theta \\ &\qquad \blacktriangleleft S = \dfrac{1}{2}(底辺)\times(高さ)\\ &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sqrt{1 − \cos^2 \theta}\\ &\qquad \blacktriangleleft \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より\\ &\qquad \sin^2 \theta = 1 −\cos^2 \theta であり，\\ &\qquad 0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ より\\ &\qquad \sin \theta \geqq 0 だから\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - \left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 \cos^2 \theta}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\\ &\qquad \blacktriangleleft 内積の定義 \end{align}$$

   よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}$と表せる．

2. $\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき

   $$\begin{align} \left|\vec{a}\right| &= \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}\\ \left|\vec{b}\right| &= \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2}\\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_xb_x + a_yb_y \end{align}$$

   であるから，$S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$に代入して

   $$\begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\left(({a_x}^2 + {a_y}^2)( {b_x}^2 + {b_y}^2)\right.\\ &\qquad \qquad \qquad \quad \left.- (a_xb_x + a_yb_y)^2\right)^{\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{{a_x}^2{b_y}^2+{b_x}^2{a_y}^2-2a_xb_xa_yb_y}\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{ (a_xb_y - b_xa_y)^2}\\ &=\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right| \end{align}$$

   よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right|}$と表せる．

3. $$\begin{align} \overrightarrow{\text{AB}} &=\overrightarrow{\text{OB}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{7}{2}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{5}{1}，\\ \overrightarrow{\text{AC}} &=\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{4}{5}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{2}{4} \end{align}$$

   より，$\triangle \text{ABC}$ の面積$S’$は

   $$S’= \dfrac{1}{2}\left|5 \cdot 4 − 1 \cdot 2\right| = \boldsymbol{9}$$

1. $\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からみる余弦定理を使うと

   $\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ $$\begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{9 + 25 – 49}{2} =\dfrac{−15}{2} \end{align}$$

   であるから

   $$\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{−15}{2}}$$
2. 

   $\overrightarrow{\text{AO}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．

   まず，$\overrightarrow{\text{DO}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから

   $$\begin{align} & \overrightarrow{\text{DO}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AD}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{b}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x − \dfrac{1}{2}\right) \left|\vec{b}\right|^2+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)− \dfrac{15}{2}y = 0 \tag{1}\label{gaishinnoitibekutoru1} \end{align}$$

   また，$\overrightarrow{\text{EO}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから

   $$\begin{align} & \overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AE}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{c}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} +\left(y − \dfrac{1}{2}\right)\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0\\ &\Leftrightarrow − \dfrac{15}{2}x + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0 \tag{2}\label{gaishinnoitibekutoru2} \end{align}$$

   式$\eqref{gaishinnoitibekutoru1}，\eqref{gaishinnoitibekutoru2}$を連立して

   $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 6x − 5y = 3\\ −3x + 10y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{11}{9}\\ y = \dfrac{13}{15}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

   よって，$\overrightarrow{\text{AO}} \boldsymbol{=\dfrac{11}{9}\vec{b} + \dfrac{13}{15}\vec{c}}$．

【解答1：直交条件を使う】

1. $\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からにらむ余弦定理を使うと

   $\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ $$\begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{25 + 16 – 36}{2} =\dfrac{5}{2} \end{align}$$

   であるから，$\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$

2. 

   $\overrightarrow{\text{AH}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．

   まず，$\overrightarrow{\text{CH}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから

   $$\begin{align} & \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AC}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{c}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow x\left|\vec{b}\right|^2+ (y-1)\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 25x+ (y-1)\dfrac{5}{2} = 0\\ &\Leftrightarrow 10x+y = 1 \tag{1}\label{juushinnoitibekutoru1} \end{align}$$

   また，$\overrightarrow{\text{BH}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから

   $$\begin{align} & \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AB}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{b}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\vec{b} \cdot \vec{c} +y\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\dfrac{5}{2} + 16y= 0\\ &\Leftrightarrow 5x+32y= 5 \tag{2}\label{juushinnoitibekutoru2} \end{align}$$

   式$\eqref{juushinnoitibekutoru1}，\eqref{juushinnoitibekutoru2}$を連立して

   $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 10x + y = 1\\ 5x + 32y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{3}{35}\\ y = \dfrac{1}{7}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

   よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．

1. （【解答1】と同じ）

2. ベクトルの正射影を考え

   
   $$\overrightarrow{\text{AD}} =\dfrac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b} =\dfrac{\dfrac{5}{2}}{25}\vec{b} = \dfrac{1}{10}\vec{b} \tag{1}\label{juushinnoitibekutorukaitou21}$$

   同様にして

   $$\overrightarrow{\text{AE}} = \dfrac{5}{32}\vec{c} \tag{2}\label{juushinnoitibekutorukaitou22}$$

   である．

   まず，点$\text{H}$ は線分$\text{BE}$ 上にあるから，$\text{BH} : \text{HE} = s :1 – s$ とおくと

   $$\begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\overrightarrow{\text{AB}} + s\overrightarrow{\text{AE}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\vec{b} + \dfrac{5s}{32}\vec{c} \tag{3}\label{juushinnoitibekutorukaitou23} \end{align}$$ $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou22}$より

   また，点$\text{H}$ は線分$\text{CD}$ 上にあるから，$\text{CH} : \text{HD} = t :1 – t$ とおくと

   $$\begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= t\overrightarrow{\text{AD}} + (1 − t)\overrightarrow{\text{AC}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= \dfrac{t}{10}\vec{b} + (1 − t)\vec{c} \tag{4}\label{juushinnoitibekutorukaitou24} \end{align}$$ $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou21}$より

   いま，$\vec{b}$ と$\vec{c}$ は1 次独立であるから， $\eqref{juushinnoitibekutorukaitou23}， \eqref{juushinnoitibekutorukaitou24}$ より

   $$\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} 1 − s = \dfrac{t}{10}\\ \dfrac{5s}{32} = 1 – t\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} 10s + t = 10\\ 5s + 32t = 32\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} s =\dfrac{32}{35}\\ t = \dfrac{6}{7}\\ \end{array} \right. \end{align}$$

   よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．