空間ベクトルの成分表示

「平面ベクトルを成分で表す」と同じように，今度は座標空間内にあるベクトル の成分を用いた表し方についてみていこう．

右図のように，座標空間内に2 点

\[\text{A}(a_x, a_y, a_z)，\text{B}(b_x, b_y, b_z)\]

があるとき，$\overrightarrow{\text{AB}}$ を

• $x$ の増分: $b_x − a_x$
• $y$ の増分: $b_y − a_y$
• $z$ の増分: $b_z – a_z$

を用いて，$\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} b_x − a_x\\ b_y − a_y\\ b_z – a_z\\ \end{array} \right) $と表すことにする．

$b_x – a_x$ の値を$\boldsymbol{x}$ 成分(x-component) ，$b_y – a_y$ の値を$\boldsymbol{y}$ 成分(y-component) ，$b_z – a_z$ の値を$\boldsymbol{z}$ 成分(z-component) という．

「成分表示された平面ベクトルの相等」は，空間ベクトルの場合にも拡張される．

一般に，2 つの$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の相等に関して

\[\vec{a} = \vec{b} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_x = b_x\\ a_y = b_y\\ a_z = b_z\\ \end{array} \right. \]

が成り立つ．

空間ベクトル$\overrightarrow{\text{OP}} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ の大きさは，線分$\text{OP}$の長さである．いま，この線分の長さを求めてみよう．

点$\text{P}$ から，$xy$ 平面に下ろした垂線の足を$\text{H}$とすると，$\text{H}$の座標は$(x, y, 0)$であるから，三平方の定理より

\[\text{OH}^2 = x^2 + y^2\]

である．また，$\triangle \text{POH}$ は$\text{H}$ を直角とする直角三角形であるから，再び三平方の定理より

\[\text{OP}^2 = \text{OH}^2 + \text{PH}^2 = x^2 + y^2 + z^2\]

となり

\[\text{OP} =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

と計算できる．

これより，2 点，$\text{A}(a_x, a_y, a_z)，\text{B}(b_x, b_y, b_z)$ 間の距離は， $\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} b_x − a_x\\ b_y − a_y\\ b_z − a_z\\ \end{array} \right)$ を用いて

\begin{align} &\text{AB} =\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|\\ &=\sqrt{(b_x − a_x)^2 + (b_y − a_y)^2 + (b_z − a_z)^2} \end{align}

と計算できる．