空間内での内分点・外分点の位置ベクトル
内分・外分点の位置ベクトル
点$\text{ O }$に関して空間内の2 点$\text{ A}(\vec{a})，\text{ B}(\vec{b}) $をとるとき，線分$\text{ AB}$ を$m : n $の比に内分する点$\text{ P} $の位置ベクトル$\vec{p}$，および外分する点$\text{ Q}$ の位置ベクトル$\vec{q}$ は$\vec{a}，\vec{b}，m，n $を用いて次のように表すことができる．
\[\vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n} , \vec{q} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m – n}\]これより，2 点$\text{ A}(a_x, a_y, a_z)，\text{ B}(b_x, b_y, b_z) $を結ぶ線分$\text{AB} $を$m : n$ に内分する点を$\text{ P}$，外分する点を$\text{ Q}$ とすると，点$\text{ P}，\text{ Q} $の座標は次のようになる．
\begin{align} &\text{ P}\left(\dfrac{n{a_x} + m{b_x}}{m + n},\dfrac{n{a_y} + m{b_y}}{m + n},\dfrac{n{a_z} + m{b_z}}{m + n}\right)\\ &\text{ Q}\left(\dfrac{−n{a_x} + m{b_x}}{m – n},\dfrac{−n{a_y} + m{b_y}}{m – n},\dfrac{−n{a_z} + m{b_z}}{m – n}\right) \end{align}空間内の三角形の重心
点$\text{ O}$ に関して空間内の3 点$\text{ A}(\vec{a})$，$\text{ B}(\vec{b})$，$\text{ C}(\vec{c})$ をとるとき，$\triangle \text{ ABC}$ の重心$\text{ G}$ の位置ベクトル$\vec{g}$ は$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c} $を用いて次のように表すことができる．
\[\vec{g} =\dfrac{\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}}{3}\]これより，3 点$\text{ A}(a_x, a_y, a_z)$，$\text{ B}(b_x, b_y, b_z)$，$\text{ C}(c_x, c_y, c_z)$ を結んでできる空間内の三角形の重心を$\text{ G} $とすると，点$\text{ G} $の座標は次のようになる．
\[\text{ G}\left(\dfrac{{a_x} + {b_x} +{c_x}}{3},\dfrac{{a_y} + {b_y} +{c_y}}{3},\dfrac{{a_z} + {b_z} +{c_z}}{3}\right)\]空間内の三角形の重心
無題
右図のような平行六面体において，$\triangle \text{ EDB}$，$\triangle \text{ FAC}$，$\triangle \text{ CFH}$，$\triangle \text{ DGE} $の重心をそれぞれ，$\text{G}_1，\text{G}_2，\text{G}_3，\text{G}_4$ とするとき，この4 点は平行四辺形をなすことを証明せよ．
$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AD }}= \vec{b}$，$\overrightarrow{\text{AE}} = \vec{c}$ とすると，$\text{G}_1，\text{G}_2，\text{G}_3，\text{G}_4$の位置ベクトル，$\vec{g}_1，\vec{g}_2，\vec{g}_3，\vec{g}_4$ は
\begin{align} \vec{g}_1 &= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}\\ &\qquad \blacktriangleleft 『空間内の三角形の重心』\\ \vec{g}_2 &= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}\\ &\qquad \blacktriangleleft 『空間内の三角形の重心』\\ \vec{g}_3 &= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{2}{3}\vec{b} + \dfrac{2}{3}\vec{c}\\ &\qquad \blacktriangleleft 『空間内の三角形の重心』\\ \vec{g}_4 &= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{2}{3}\vec{b} + \dfrac{2}{3}\vec{c}\\ &\qquad \blacktriangleleft 『空間内の三角形の重心』 \end{align}となり
\begin{align} \overrightarrow{\text{G}_1\text{G}_2} &= \vec{g}_2 − \vec{g}_1 = \dfrac{1}{3}\vec{a}\\ &\qquad \blacktriangleleft『空間内での位置ベクトル』\\ \overrightarrow{\text{G}_3\text{G}_4} &= \vec{g}_4 − \vec{g}_3 = − \dfrac{1}{3}\vec{a}\\ &\qquad \blacktriangleleft『空間内での位置ベクトル』 \end{align}であるから，平行四辺形をなすことがわかる．
内分点・外分点の位置ベクトル
無題
四面体$\text{O-ABC}$ で，$\text{AB}$ を$1 : 2$ に内分する点を$\text{M}$，$\text{OC}$の中点を$\text{N}$，$\text{MN}$ を$2 : 3$ に内分する点を$\text{K}$，$\triangle \text{OBC}$ の重心を$\text{G}$ とするとき，3 点$\text{A}，\text{K}，\text{G}$ は同一直線上にあることを示せ．
$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}，\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{OC}} = \vec{c}$ とおくと，
\begin{align} \overrightarrow{\text{ON}} &= \dfrac{1}{2}\vec{c}\\ \overrightarrow{\text{OM}} &= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}\\ &\quad \blacktriangleleft 空間内での内分点・外分点\\ &\qquad の位置ベクトル\\ \overrightarrow{\text{OG}} &= \dfrac{1}{3}\vec{b} +\dfrac{1}{3}\vec{c}\\ &\quad \blacktriangleleft 空間内の三角形の重心\\ \overrightarrow{\text{OK}} &= \dfrac{3\overrightarrow{\text{OM}} + 2\overrightarrow{\text{ON}}}{5}\\ &= \dfrac{1}{5} (2\vec{a} + \vec{b} +\vec{c})\\ &\quad \blacktriangleleft 空間内での内分点・外分点\\ &\qquad の位置ベクトル\\ \overrightarrow{\text{AK}} &=\overrightarrow{\text{OK}} −\overrightarrow{\text{OA}}\\ &= \dfrac{1}{5} (−3\vec{a} + \vec{b} +\vec{c})\\ \overrightarrow{\text{AG}} &=\overrightarrow{\text{OG}} −\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{1}{3} (−3\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}) \end{align}したがって，$\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{5}{3}\overrightarrow{\text{AK}}$ となるので，$\text{A}，\text{K}，\text{G}$は一直線上にある．