ベクトルの内積（空間）

ベクトルの内積の定義（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの内積を定義 する．

任意の2 つの空間ベクトル，$\vec{a}，\vec{b}$ に対して内積という演算$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を次のように定義する．

    ベクトルの内積の定義の図

  1. $\boldsymbol{\vec{a} \neq \vec{0}}$ かつ$\boldsymbol{\vec{b} \neq \vec{0}}$ のとき

    「$\vec{a}$ の大きさに，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離をかけたもの」，すなわち

    \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \times \left|\vec{b}\right| \cos \theta\]

    とする．ここで，$\theta$ は$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角である．

  2. $\boldsymbol{\vec{a} = \vec{0}}$ または$\boldsymbol{\vec{b} = \vec{0}}$ のとき

    \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

    とする．

空間の正射影ベクトルの内積での表し方

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでも同様な形で，正射影ベク トルを内積で表すことができる．

空間の正射影ベクトルの内積での表し方の図

$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は

\begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\\ &=\dfrac{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ &\because 分母分子に\left|\vec{a}\right| をかけた\\ &=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ &\because \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos \theta \end{align}

と表すことができる．

内積の計算法則（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルの内積でも，次のような計算 法則が成り立つ．

内積に関する計算法則

  1. 交換法則 \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\]
  2. 結合法則 \[\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\]
  3. 分配法則 \[\vec{a} \cdot (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\]
  4. \[\vec{a} \cdot \vec{a} = 0\]

【証明】は平面の時の内積に関する計算法則と同様．

成分表示された空間ベクトルの内積

成分表示された2 つの空間ベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right), \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の内積について考えてみよう．

まず，$\vec{e_x} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right), \vec{e_y} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right), \vec{e_z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)$ について，それぞれのベクトルの大きさは$1$であり，どの2 つのベクトルのなす角も$90^\circ$ であるから

\begin{align} &\left|\vec{e_x}\right|=\left|\vec{e_y}\right|=\left|\vec{e_z}\right|= 1 \tag{1}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki1}\\ &\vec{e_x} \cdot \vec{e_y} = 0 , \vec{e_y} \cdot \vec{e_z} = 0 , \vec{e_z} \cdot \vec{e_x} = 0 \tag{2}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki2} \end{align}

が成り立つ．

ここで，$\vec{a}$ は

\begin{align} \vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} a_x\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ a_y\\ 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ a_z\\ \end{array} \right)\\ &= a_x \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) + a_y \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) + a_z \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) \end{align}

であるから，$\vec{a}$ を$\vec{e_x}，\vec{e_y}，\vec{e_z}$ に分解すると

\[\vec{a} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z} \tag{3}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki3}\]

となる．

同様にして

\[\vec{b} = b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z} \tag{4}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki4}\]

となる．

よって， $\eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki3}，\eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki4}$より

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}) \\ &\quad \cdot (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z})\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x}\right|^2 + a_yb_y \left|\vec{e_y}\right|^2 + a_zb_z \left|\vec{e_z}\right|^2 \quad \because \eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki2}\\ &= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki1} \end{align} となる．

空間ベクトルの内積

次の2 つのベクトルの内積の値とそのなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ を求めよ．

  1. $(−1, − 2, 1)，(1, − 1, 2)$
  2. $(1, 0, − 1)，(1, 2, − 2) $

  1. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = −1 \cdot 1 − 2 \cdot (−1) + 1 \cdot 2 = \boldsymbol{3}\]

    $\cos \theta =\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$ であるので，

    \begin{align} &\cos \theta \\ &= \dfrac{3}{ \sqrt{(−1)^2 + (−2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (−1)^2 + 2^2} }\\ &=\dfrac{3}{ \sqrt{6}\sqrt{6} }=\dfrac{1}{2} \end{align}

    $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ より，$\boldsymbol{\theta = 60^\circ}$

  2. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 − 1 \cdot (−2) =\boldsymbol{3}\]

    $\cos \theta =\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$ であるので，

    \begin{align} &\cos \theta \\ &= \dfrac{3}{ \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} }\\ &=\dfrac{3}{ \sqrt{2}\sqrt{9} }=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align}

    $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ より，$\boldsymbol{\theta = 45^\circ}$

空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する．

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角が$90^\circ$ とき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は垂直であるといい，$\boldsymbol{\vec{a}\perp\vec{b}}$と表す．また，$\vec{0}$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の内積は，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる．逆に，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば$\vec{a}\perp\vec{b}$ といえる．つまり

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ が垂直であるとき

\[ \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = 0 \Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0\] が成り立つ．

空間ベクトルの垂直条件

無題

無題

正四面体$\text{O-ABC}$ で，$\text{OA}\perp\text{OB}$ が垂直であることを証明せよ．

正四面体であるので

\[\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} =\overrightarrow{\text{OB}} \cdot\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \cdot\overrightarrow{\text{OA}}\]

より

\begin{align} \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot (\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OB}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0 \end{align}

以上から，$\text{OA}\perp\text{OB}$ であることが示せた．

空間ベクトルの内積と垂直条件

無題

無題

1 辺の長さ2 の正四面体$\text{ABCD}$ がある．$\text{AB}$の中点を$\text{M}，\text{CD}$ の中点を$\text{N}$ とする．$\overrightarrow{\text{DA}} = \vec{a}，\overrightarrow{\text{DB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{DC}} = \vec{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

  1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ．
  2. $\overrightarrow{\text{MN}}$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．
  3. $\text{MN}\perp\text{AB}$ であることを証明せよ．
  4. $\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|$を求めよ．
  5. $\overrightarrow{\text{DM}}$ と$\overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角の余弦を求めよ．

  1. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ= \boldsymbol{2}\]
  2. \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} &=\overrightarrow{\text{DN}} −\overrightarrow{\text{DM}}\\ &= \dfrac{1}{2}\vec{c} − \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} (−\vec{a} − \vec{b} + \vec{c})} \end{align}

  3. $\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ であるので

    \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} &=\dfrac{1}{2}(−\vec{a} − \vec{b} +\vec{c}) \cdot (\vec{b} − \vec{a})\\ &= \dfrac{1}{2}\left(−\vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{a}\right|^2 − \left|\vec{b}\right|^2 \right.\\ &\qquad \left.+ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} − \vec{a} \cdot \vec{c}\right) \end{align}

    ここで，1. と$\text{ABCD}$ が正四面体であることから，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 2$であるので

    \[\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \dfrac{1}{2} (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0\]

    したがって，$\text{MN}\perp\text{AB}$ である．

  4. \begin{align} \left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|^2 &= \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + \left|\vec{c}\right|^2\\ &\qquad+ 2\left( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{a} \right)\\ &= 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24 \end{align}

    したがって，$ \boldsymbol{\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right| = 2\sqrt{6}}$ である．

  5. $\triangle \text{DAB}$ は正三角形であり，$\text{M}$ が$\text{AB}$ の中点であることから

    \[\left|\overrightarrow{\text{DM}}\right| =\left|\overrightarrow{\text{AD}}\right| \sin 60^\circ=\sqrt{3}\]

    となり，また

    \begin{align} \overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}} &= \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\right)= 2 \end{align}

    である．したがって，$\overrightarrow{\text{DM}}\cdot \overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角を$\theta$とすると

    \[\cos \theta =\dfrac{\overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}}}{ \left|\overrightarrow{\text{DM}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\text{DC}}\right|} = \dfrac{2}{2 \cdot \sqrt{3}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\]