整理して考えるということ
表でまとめる
まずは、表でまとめてみる。
- 正四面体のさいころを振った場合
- 順列でまとめた場合 \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&2,2&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array} 各マスの左側の数字が1回目に出た目、右側の数字が2回目に出た目を表す。
- 組合せでまとめた場合 \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&ー&ー&ー\\\hline 2&1,2&2,2&ー&ー\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&ー\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array} 1回目と2回目に出た目の順番は区別しないので、上の表で、例えば「2,1」と「1,2」は同じものとなり、この表には片側の「1,2」のみ記される。
- カードを引く場合
- 順列でまとめた場合 \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&ー&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&ー&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&ー&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&ー\\\hline \end{array} 各マスの左側の数字が1回目に引いたカード、右側の数字が2回目に引いたカードを表す。同じカードは2度引けないので、例えば「1,1」などはない。
- 組合せでまとめた場合 \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&ー&ー&ー&ー\\\hline 2&1,2&ー&ー&ー\\\hline 3&1,3&2,3&ー&ー\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&ー\\\hline \end{array} 1回目と2回目に引いたカードの順番は区別しないので、上の表で、例えば「2,1」と「1,2」は同じものとなり、この表には片側の「1,2」のみ記される。
樹形図でまとめる
今度は、同じ内容を枝分かれした木のような形の樹形図 (tree diagram)でまとめてみる。
- 正四面体のさいころを振った場合
順列でまとめた場合
左側の数字が1回目に出た目、右側の数字が2回目に出た目を表す。
組合せでまとめた場合
1回目と2回目に出た目の順番は区別しないので、上の図で、例えば「2,1」と「1,2」は同じものとなるので、この図には片側の「1,2」のみ記される。
- カードを引く場合
順列でまとめた場合
左側の数字が1回目に引いたカード、右側の数字が2回目に引いたカードを表す。同じカードは2度引けないので（例えば「1,1」などはない）、除外してある。
組合せでまとめた場合
1回目と2回目に引いたカードの順番は区別しないので、上の図で、例えば「2,1」と「1,2」は同じものとなるので、この図には片側の「1,2」のみ記される。
表や樹形図の利用
次の問に答えよ。
- 1から4の目が書いてある正四面体のさいころを2回振り、出る目の順列を考える。2つの目の和が5となるのは何通りか。
- 1から4の目が書いてある正四面体のさいころを2回振り、出る目の組合せを考える。2つの目の和が5となるのは何通りか。
- 1から4までの数字が書いてある4枚のカードから、連続して2枚のカードを引く。はじめに引いたカードの数字が、あとに引いたカードの数字より小さくなるのは何通りか。
- 1から4までの数字が書いてある4枚のカードから、連続して2枚のカードを引く。2枚のカードの数字の和が5以上となる組合せは何通りあるか。
順列か組合せなのかを考えて、表や樹形図でまとめてから数える。以下の解答では、表でまとめた場合の解答である。樹形図についてまとめた場合には、右の図を参照のこと。数える樹形図の枝にはチェックマーク✓が入れてある。
下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&2,2&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array}
下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、2通り。
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&-&-&-\\\hline 2&1,2&2,2&-&-\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&-\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array}
下の表で、はじめに引いたカードの数字が、あとに引いたカードの数字より小さくなるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、6通り。
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&-&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&-&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&-&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&-\\\hline \end{array}
下の表で、2枚のカードの数字の和が5以上となるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&-&-&-&-\\\hline 2&1,2&-&-&-\\\hline 3&1,3&2,3&-&-\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&-\\\hline \end{array}