集合の要素の個数と場合の数

“場合”を集合の要素に対応させる

球の並べ方

ある事柄の起こり方が全部で $a$ 通りあるとき，その事柄の起こる場合の数(number of cases)は $a$ 通りであるという．

この事柄の起こり方は，集合の要素に対応させることができる．

例えば，①の球が3個，②の球が2個，計5個の球があるとする．

この中から3個選んで，順に1列に並べるという事柄をAとすると事柄Aには，右図のように7通りの場合がある．

これを順に $a_1，a_2，\cdots，a_7$ と対応させ集合 $A$ を作る．このとき，場合の数は $n(A)$ と表せる．

このように，事柄における“場合”は，集合の要素に簡単に対応させることができる．このように対応させることにより，場合の数を求める際，『集合の要素の個数』で学んだことが利用できる．

以下，特に断りのない限り，事柄Xと集合 $X$ は互いに対応しているものとし，どちらも斜体のアルファベット $X$ で表すことにする．

積の法則・和の法則（集合版）

積の法則・和の法則の利用

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする．

2つの数字の出方には全部で何通りの場合があるか．
2つの数字の和が4の倍数となるのは何通りか．

積の法則・和の法則の利用の解答

さいころの数字6通りのそれぞれに対して，カードの数字は4通りに定まるから，積の法則より $6\times4=\boldsymbol{24}通り$
《補足》このことを，集合で表現すると以下のようになる．
$A$ ：「さいころを1回振る」
$B$ ：「カードを1枚引く」
とおくと，求める場合の数は $n(A\times{B})$ となり
$\begin{align} n(A\times{B})&= n(A)\times{n(B)}\\ &= 6\times4=\boldsymbol{24}通り \end{align}$
2つの数字の和が4の倍数となるのは
1. 2つの数字の和が4の場合
2. 2つの数字の和が8の場合
に分けることができ，i)の場合は(さいころ,カード)の順で $(1,~3)，(2,~2)，(3,~1)$ の3通りあり，
ii)の場合も $(4,~4)，(5,~3)，(6,~2)$ の3通りある．
また，これらは同時に起こることはないから，和の法則より
3+3=6通り
《補足》このことを，集合で表現すると以下のようになる．
$P$ ：「2つの数字の和が4である」
$Q$ ：「2つの数字の和が8である」
とおくと，求める場合の数は n(P∪Q) となり， P∩Q=∅ であるから n(P∪Q)=n(P)+n(Q)=3+3=6通り

補集合での考え方

補集合の利用

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする．

2つの数字の和が4の倍数とは"ならない"のは何通りか．

補集合の利用の解答

積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち，「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より，6通りである．

よって，「2つの数字の和が4の倍数とは

ならない

」のは

$24-6=\boldsymbol{18}$ 通り．

《補足》このことを，集合で表現すると以下のようになる．

全体集合 $U$ を $U=A\times{B}$ とおくと，求める場合の数は $n(\overline{P\cup{Q}})$ であるから

$\begin{align} n(\overline{P\cup{Q}}) &= n(U)-n(P\cup{Q})\\ &= 24-6=\boldsymbol{18}通り \end{align}$

この問題は，補集合の考え方を使わなくても，例えば和の法則で次のように解くこともできる．

$A_1$ ：「カードの数字が1の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_2$ ：「カードの数字が2の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_3$ ：「カードの数字が3の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_4$ ：「カードの数字が4の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

とおくと，どの2つの事柄も同時におこることがないので

$5+4+4+5=\boldsymbol{18}$ 通り

となるが，補集合を考えたときに比べてかなり面倒である．

そこで，次のような原則を引き出すことができるだろう．

補集合で考えるときのポイント

全体集合 $U$ に対して， $n(X)$ を数えるよりも $n(\overline{X})$ を数えるほうが数えやすいとき

$n(X)=n(U)-n(\overline{X})$

として， $n(X)$ を計算するとよい．

ド・モルガンの法則

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする． 2つの数字の積が偶数となるのは何通りか．

ド・モルガンの法則の解答

2つの数字の偶奇とその積の偶奇の関係は下の表のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline さいころ&&カード&&積\\\hline 奇数&×&奇数&＝&奇数\\\hline 奇数&×&偶数&＝&偶数\\\hline 偶数&×&奇数&＝&偶数\\\hline 偶数&×&偶数&＝&偶数\\\hline \end{array}$

これより，積が偶数になる場合より，奇数になる場合の方が数えやすそうだとわかるので，補集合を考えてみることにする．

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

D：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ であり，その補集合の要素の個数は $n(\overline{C\cup{D}})$ であるから，全体集合を $U$ とすると

$n(C\cup{D})=n(U)-n(\overline{C\cup{D}})$

ここで，『ド・モルガンの法則』より

$n(\overline{C\cup{D}})=n(\overline{C}\cap\overline{D})$

であり，集合 $\overline{C}\cap\overline{D}$ に対応する事柄は，「さいころの数字が偶数でなく，かつ，カードの数字が偶数でない」つまり

$「さいころ，カードの数字がともに奇数である」$

となるので，積の法則から

$n(\overline{C}\cap\overline{D})=3\times2=6$

よって

$\begin{align} n(C\cup{D})&=n(U)-n(\overline{C\cup{D}})\\ &=n(U)-n(\overline{C}\cap\overline{D})\\ &=24-6=\boldsymbol{18} \end{align}$

通り

吹き出しド・モルガンの法則を使うときには

形式的な面
意味的な面

の両方から，考える癖をつけるのがよい．

つまり，上の問題の例でいうならば，i)では

$\qquad$ 集合

$\overline{C\cup{D}}$ は，補集合のバー

$(\overline{\bigcirc})$ が“切れて”

$\cup$ が“ひっくりかえった”集合

$\overline{C}\cap\overline{D}$

$\qquad$ と常に等しかったな．そして，この

$\overline{C}\cap\overline{D}$ は，「数字がともに奇数である」という事柄と対応するな．

と考えることであり，ii)では

$\qquad$ 「（さいころの数字が偶数であるか，または，カードの数字が偶数である）ということはない」，とはつまり，「さいころ，カードの数字がともに奇数であること」と同じだな．

$\qquad$ だから，それぞれに対応する集合

$\overline{C\cup{D}}$ と

$\overline{C}\cap\overline{D}$ は等しくなるな．

と考えることである．

上の解答では，i)を強調した書き方になっている．

包含と排除の原理

2集合の包含と排除の原理

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする． 2つの数字の積が偶数となるのは何通りか．『包含と排除の原理』を用いて求めよ．

2集合の包含と排除の原理の解答

『ド・モルガンの法則』の例題の場合と同じように

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

$D$ ：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ である．和集合の要素の個数に関して

$n(C\cup{D})=n(C)+n(D)-n(C\cap{D})$

が成り立つ．また，集合 $C\cap{D}$ に対応する事柄は

$\qquad$ 「さいころ，カードの数字が共に偶数」

となる．

ここで， $n(C)$ ， $n(D)$ ， $n(C\cap{D})$ はそれぞれ

$n(C)=3\times4=12$

$n(D)=6\times2=12$

$n(C\cap{D})=3\times2=6$

となるので

$\begin{align} n(C\cup{D})&=n(C)+n(D)-n(C\cap{D})\\ &=12+12-6=\boldsymbol{18} \end{align}$

通り

集合を利用した数え上げのまとめ

1から100までの自然数のうち，次のような数は全部でいくつあるか．

3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数．
3で割りきれるか，または，7で割りきれる数．
3で割りきれなく，かつ，7で割りきれない数．
3で割りきれないか，または，7で割りきれない数．

集合を利用した数え上げのまとめの解答

事柄A，Bをそれぞれ

$\qquad A$ ：「3で割りきれる」

$\qquad B$ ：「7で割りきれる」

とする．まず， $n(A)$ と $n(B)$ について

$\qquad 100\div3=33$ あまり1

$\qquad 100\div7=14$ あまり2

であるから

$\qquad n(A) = 33,n(B) = 14$

である．

「3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数」は集合で $A\cap{B}$ と表すことができ，これは結局「21で割りきれる数」のことである．

$100\div21=4$ あまり16であるから

$n(A\cap{B})=\boldsymbol{4}$

「3で割りきれるか，または，7で割りきれる数」は集合で $A\cup{B}$ と表すことができる．

$\begin{align} &n(A\cup{B})\\ =&n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\\ =&33+14-4\\ =&33+14-4=\boldsymbol{43} \end{align}$

求める場合の数は $n(\overline{A}\cap\overline{B})$ である．全体集合をUとすると

$\begin{align} &n(\overline{A}\cap\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cup{B}})\\ =&n(U)-n(A\cup{B})\\ =&100-43=\boldsymbol{57} \end{align}$

求める場合の数は $n(\overline{A}\cup\overline{B})$ である．

$\begin{align} &n(\overline{A}\cup\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cap{B}})\\ =&n(U)-n(A\cap{B})\\ =&100-4=\boldsymbol{96} \end{align}$