試行と事象

1個のさいころを投げるとき，その出る目は

のうちのいずれかであるが，このうちどの目が出るかは偶然に左右される．

このさいころ投げのように，同じ条件で何度も繰り返すことができ，その結果が偶然によってきまる実験や観測などを試行(trial)という． また，試行の結果起こる事柄を事象(event)という． 例えば，「1の目が出る」は，さいころ投げという試行における事象の1つである．

試行や事象は，集合で表すことができる． 例えば，さいころ投げの試行の結果起こる事象の全体は

$U=\{1,2,3,4,5,6\}$

などと表すことができる．

また，この試行では

$A$ ：「1の目が出る」

$B$ ：「奇数の目が出る」

$C$ ：「3の目が出ない」

などの事象を考えることができるが，これらは $U$ の部分集合を用いて

$A=\{1\}$

$B=\{1,3,5\}$

$C=\{1,2,4,5,6\}$

と表すことができる．

一般に，ある試行において，起こる事象全体を表す集合を $U$ とするとき， この集合 $U$ のことを標本空間(sample space)という． また，試行によって起こる事象 $A$ を表す集合 $A$ は標本空間 $U$ をうまく作ることによって， $U$ の部分集合（ $A\subseteqq{U}$ ）として表すことができる．

今後簡単のため，「事象 $A$ 」と「事象 $A$ を表す集合 $A$ 」は区別せず，どちらも単に事象 $A$ ということにする． 標本空間は事象全体を表す集合なので，全事象(sure event)ともいう． また，決して起こらない事象も考え，これを空事象(null event)という． 空事象は空集合 $\emptyset$ で表される．

また，標本空間 $U$ の要素のただ1つからなる集合で表される事象を根元事象(fundamental event)という． 上のさいころ投げの例では，根元事象は

$\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}$

の6つである．

ここでは，さいころ投げを例にとり，標本空間の作り方と事象の表し方 をいくつかの視点から見てみよう．同じ試行であっても，標本空間の作り方にはいろいろあるのだ，という点に特に注目してもらいたい．

説明文

試行として

「1から4の目が書かれた正四面体のさいころを2回振る」を考えてみる．

この試行は，表のように，1回目に出た目と2回目に出た目の順列で

$_{4}\Pi_{2}=4^2=16$ 通り

にまとめることができる．

これをもとに，標本空間 $U$ を

\begin{align} U=\{&(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ &(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ &(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ &(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\ \} \end{align}

ととれば，例えば

事象 $A$ ：「1の目と2の目が出る」

は $U$ の部分集合を用いて

$A=\{(1,2),(2,1)\}$

と表すことができる．

また，この試行は，表のように，1回目に出た目と2回目に出た目の重複組合せで $_{4}\mathrm{Η}_{2}=\ _{4+2−1}\mathrm{C}_{2}=10$ 通りにまとめることができる。

これをもとに，標本空間 $U'$ を

ととれば

事象 $A$ ：「1の目と2の目が出る」

$U'$ の部分集合を用いて

$A=\{(1,2)\}$

と表すことができる．

説明文

今度は，カード引きを例にとり，標本空間の作り方と事象の表し方をいくつかの視点から見てみる．

試行として

「1から4の数字が書かれた4枚のカードから続けて2回引く」

を考えてみる.

この試行は，表のように，1回目に引いたカードと2回目に引いたカードの順列で

$_{4}\mathrm{Ρ}_{2}=4^3=12$ 通り

にまとめることができる。

これをもとに，標本空間 $U$ を

\begin{align} U=\{&(1,2),(1,3),(1,4),\\ &(2,1),(2,3),(2,4),\\ &(3,1),(3,2),(3,4),\\ &(4,1),(4,2),(4,3)\ \} \end{align}

ととれば，例えば

事象 $A$ ：「1のカードと2カードを引く」

は $U$ の部分集合を用いて

$A=\{(1,2),(2,1)\}$

と表すことができる。

また，この試行は，表のように，1回目に引いたカードと2回目に引いたカードの組合せで

$_{4}\mathrm{H}_{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6$ 通り

にまとめることもできる．

これをもとに，標本空間 $U'$ を

$U'=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}$

ととれば

事象 $A$ ：「1のカードと2のカードを引く」

は $U'$ の部分集合を用いて

$A=\{(1,2)\}$

と表すことができる．