余事象とその確率
余事象
事象 $A$ に対して，“ $A$ が起こらない”という事象を $A$ の余事象(complementary event)といい， $\overline{A}$ で表す．余事象 $\overline{A}$ は，事象 $A$ を表す集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ で表される．
余事象 $\overline{A}$ のさらに余事象は，“ $A$ が起こる”という事象 $A$ にもどる．
事象 $A$ と $\overline{A}$ は互いに排反で，それらの和事象 $\mathit{A}\cup\overline{A}$ は標本空間 $U$ である．
余事象の確率
説明文
補集合の要素の個数より
\[n(\overline{A})=n(U)-n(A)\]が成り立つ．この両辺を， $n(U)$ で割ると
\[\frac{n(\overline{A})}{n(U)}=1-\frac{n(A)}{n(U)}\] \[\therefore P(\overline{A})=1-P(A)\]が成り立つ．
余事象の確率
事象 $A$ と，その余事象 $\overline{A}$ において
\[P(\overline{A})=1-P(A)\]が成り立つ．
吹き出し無題
このことは，ある事象 $A$ の確率を求めるのが大変な場合， むしろ $A$ の余事象 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである， ということを教えてくれる．
余事象
3つのさいころを同時に振るとき，少なくとも1つのさいころで3の倍数の目が出る確率を求めよ．
事象 $A$ を
$A$ ：「3つのさいころで3の倍数の目が出ない」
とおくと，求める確率は $P(\overline{A})$ である．
3つのさいころの目の重複順列 $_{6}\Pi_{3}=6^3=216$ 通りは，どれも同様に確からしい．
このうち，3の倍数の目がまったく出ないのは（3の倍数でない目が1，2，4，5と4つあるので）
$_{4}\Pi_{3}=4^3=64$ 通り
よって，3の倍数の目が出ない確率 $P(A)$ は
\[P(A)=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}\]求める確率は $P(\overline{A})$ なので
\[P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{8}{27}=\boldsymbol{\frac{19}{27}}\]となる．