円と円

2円の位置関係

2円の位置関係

2円の位置関係は,2円の半径と中心間の距離で決まり,以下の5つの状態がある.

2円の位置関係

2円の半径を $r_1,r_2(r_1\lt r_2)$ ,中心間の距離を $d$ とすると,以下のようになる.

2円の図
2円の位置関係離れている外接している交わっている
2円の共有点の個数0個1個(外接)2個
2円の中心間の距離 $d$$d\gt{r_1+r_2}$$d=r_1+r_2$$d\lt{r_1+r_2}$
2円の図
2円の位置関係内接している一方が他方を含む
2円の共有点の個数1個(内接)0個
2円の中心間の距離 $d$ $d\gt{r_2-r_1}$$d\lt{r_2-r_1}$

2円の関係

円 $C_1$ は $\text{A}$ を中心とした半径 $2$ の円,円 $C_2$ は $\text{B}$ を中心とした半径 $5$ の円とする.

  1. $\text{AB}=10$ のとき,円 $C_1$ と $C_2$ はどんな位置関係にあるか.また, $\text{AB}=6$ のとき, $\text{AB}=2$ のときはどうか.
  2. $C_1$ と $C_2$ が外接するとき線分 $\text{AB}$ の長さを求めよ.また,内接するときはどうか.
  3. $C_1$ が $C_2$ に含まれるための,線分 $\text{AB}$ の長さの条件を求めよ.

  1. $\text{AB}=10$ のときは共有点がない
  2. $\text{AB}=6$ のときは2点で交わる

    $\text{AB}=2$ のときは円 $C_1$ が円 $C_2$ に含まれている

  3. 外接のときは $\text{AB}=7$ ,内接のときは $\text{AB}=3$ .
  4. 線分 $\text{AB}$ の長さが,内接するときより短ければよいので, $(0\lt)\boldsymbol{\text{AB}\lt3}$ .

2円と共通接線

2円と共通接線

2円の共通接線の本数は,2円の位置関係によって異なる.

2円の共通接線

共通接線の本数4本3本2本1本0本
2円と共通接線の図
2円の位置関係離れている外接している交わっている内接している一方が他方を含む

$\uparrow$ 2円の中心間を横切る共通接線は共通内接線(2本ある),2円の上下で接する共通接線は共通外接線(2本ある)と言われる.

共通接線の方程式を求めるには,問題を図示し,図形的に考えることが不可欠である.

2円と共通接線

次の図で,直線 $\text{AB}$ は円 $\text{O}$ , $\text{O'}$ の共通接線で, $\text{A}$ , $\text{B}$ はその接点である.このとき,点 $\text{O'}$ から直線 $\text{OA}$ に垂線 $\text{O'A'}$ を引き, $\triangle{\mathrm{OO'A'}}$ を考えることにより,線分 $\text{AB}$ の長さを求めよ.

  1. \[\sqrt{13^2-(10-5)^2}=\boldsymbol{12}\]
  2. \[\sqrt{15^2-(8+4)^2}=\boldsymbol{9}\]