円と円
2円の位置関係
2円の位置関係
2円の位置関係は，2円の半径と中心間の距離で決まり，以下の5つの状態がある．
2円の位置関係
2円の半径を $r_1,r_2(r_1\lt r_2)$ ，中心間の距離を $d$ とすると，以下のようになる．
| 2円の図 |  |  |  | |
| 2円の位置関係 | 離れている | 外接している | 交わっている | |
| 2円の共有点の個数 | 0個 | 1個(外接) | 2個 | |
| 2円の中心間の距離 $d$ | $d\gt{r_1+r_2}$ | $d=r_1+r_2$ | $d\lt{r_1+r_2}$ |
| 2円の図 |  |  | |
| 2円の位置関係 | 内接している | 一方が他方を含む | |
| 2円の共有点の個数 | 1個(内接) | 0個 | |
| 2円の中心間の距離 $d$ | $d\gt{r_2-r_1}$ | $d\lt{r_2-r_1}$ |
2円の関係
円 $C_1$ は $\text{A}$ を中心とした半径 $2$ の円，円 $C_2$ は $\text{B}$ を中心とした半径 $5$ の円とする．
- $\text{AB}=10$ のとき，円 $C_1$ と $C_2$ はどんな位置関係にあるか．また， $\text{AB}=6$ のとき， $\text{AB}=2$ のときはどうか．
- $C_1$ と $C_2$ が外接するとき線分 $\text{AB}$ の長さを求めよ．また，内接するときはどうか．
- $C_1$ が $C_2$ に含まれるための，線分 $\text{AB}$ の長さの条件を求めよ．
- $\text{AB}=10$ のときは共有点がない
- 外接のときは $\text{AB}=7$ ，内接のときは $\text{AB}=3$ ．
- 線分 $\text{AB}$ の長さが，内接するときより短ければよいので， $(0\lt)\boldsymbol{\text{AB}\lt3}$ ．
$\text{AB}=6$ のときは2点で交わる
$\text{AB}=2$ のときは円 $C_1$ が円 $C_2$ に含まれている
2円と共通接線
2円と共通接線
2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．
2円の共通接線
| 共通接線の本数 | 4本 | 3本 | 2本 | 1本 | 0本 | |
| 2円と共通接線の図 |  |  |  |  |  | |
| 2円の位置関係 | 離れている | 外接している | 交わっている | 内接している | 一方が他方を含む |
$\uparrow$ 2円の中心間を横切る共通接線は共通内接線（2本ある），2円の上下で接する共通接線は共通外接線（2本ある）と言われる．
共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．
2円と共通接線
次の図で，直線 $\text{AB}$ は円 $\text{O}$ ， $\text{O'}$ の共通接線で， $\text{A}$ ， $\text{B}$ はその接点である．このとき，点 $\text{O'}$ から直線 $\text{OA}$ に垂線 $\text{O'A'}$ を引き， $\triangle{\mathrm{OO'A'}}$ を考えることにより，線分 $\text{AB}$ の長さを求めよ．
- \[\sqrt{13^2-(10-5)^2}=\boldsymbol{12}\]
- \[\sqrt{15^2-(8+4)^2}=\boldsymbol{9}\]