整数の除法

整数の割り算の復習

まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．

たとえば，右図のような計算により，17を3で割ると，商は5で余りは2とわかる．この関係を式で表すと \[17=3\times5+2\]

となる．

このとき，17を割られる数，3を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．

\[（割られる数）=（割る数）\times（商）+（余り）\]

また，（割る数） $\gt$ （余り） $\geqq0$ の関係がある．

整数の除法とは何か，つまり整数 $a$ を整数 $b$ で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかをきちんと定義すると

\[a=b\cdot Q+r\quad(0\leqq{r}\lt{Q})\]

を満たす整数 $Q$ と $r$ を求めることとなる.そして，この求まった値 $Q$ と $r$ をそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．

$\blacktriangleleft$ 普段割り算で行う筆算は，この $Q$ や $r$ を求めるための手段に過ぎない．

約数と倍数

余りが0になるような割り算を考える．例えば，12を3で割ると，商は4余りは0となる．このとき，3は12の約数であり，12は3の倍数であるという．

一般には次のように表すことができる．

2つの整数 $a,b$ が，ある整数 $k$ を用いて

\[a=bk\]

と表せる時， $b$ は $a$ の約数であるといい， $a$ は $b$ の倍数であるという。

文脈によっては約数のことを，因数と呼ぶこともある．例えば

\[60=3\cdot4\cdot5\]

なので，3や4や5は，60の約数であり因数である．

整数 $a$ の倍数は，適当な整数 $m,n$ を用いて， $am,an$ と表すことができる．

このとき，倍数の和は

\begin{align} &am+an\\ =&a(m+n) \end{align}

であり， $m+n$ は整数であるから， $a$ の倍数である．

また，倍数の積は

\begin{align} &am\cdot an\\ =&a\cdot amn \end{align}

であり， $amn$ は整数であるから， $a$ の倍数である．

ある整数の倍数の和はある数の倍数である．

また，ある整数の倍数の積はある数の倍数である．

割り算の一意性

なし