不定方程式の整数解
$ax+by=0$ の整数解
$ax+by=0$ の整数解
$2x+3y=0$ の整数解を求めてみよう．
$x,y$ を整数解とすると
\[2x=-3y\]が成り立つ． $3y$ は3の倍数であるから， $2x$ も3の倍数である．
2と3は互いに素であるから，互いに素な数の性質より， $x$ は3の倍数であり，適当な整数 $k$ を用いて， $x=3k$ と表される．これを， $2x=−3y$ に代入すると
\begin{align} &2\cdot3k=-3y\\ \Leftrightarrow&y=-2k \end{align}となるから，方程式の解は $x=3k,y=−2k$ と表される．
逆に，この形で表される整数 $x,y$ の組みは，方程式の解となる．
以上より，方程式の整数解は $x=3k,y=−2k$ となる．
一般に次のことが成立する．
$ax+by=0$ の整数解
$a,b$ を互いに素な整数とするとき， $ax+by=0$ を満たす整数解は
\[x=bk,y=−ak（kは整数）\]である．
$ax+by=1$ の整数解
ax+by=1の整数解
次に，方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解を求めてみよう．
この場合，方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解のうち1つが発見すれば， $ax+by=0$ の整数解の問題に帰着できる．
暗記$ax+by=1$ の整数解
方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解を求めよ．
\[2x+3y=1\tag{1}\label{ax+by=1noseisukai1}\]
を満たす整数解として， $x=−1,y=1$ がある．つまり
\[2\cdot(-1)+3\cdot1=1\tag{2}\label{ax+by=1noseisukai2}\]$\eqref{ax+by=1noseisukai1}-\eqref{ax+by=1noseisukai2}$ より
\begin{align} &2\{x-(-1)\}+3\{y-1\}=0\\ \Leftrightarrow&2(x+1)+3(y-1)=0\tag{3}\label{ax+by=1noseisukai3} \end{align}2と3は互いに素であるから， $ax+by＝0$ の整数解より $\eqref{ax+by=1noseisukai3}$ のすべての整数解は
$x+1=3k,y−1=−2k（kは整数）$ と表せる．
よって， $\eqref{ax+by=1noseisukai1}$ のすべての整数解は
\[x=3k−1,y=−2k+1（kは整数）\]となる．
$ax+by=1$ の整数解
次の方程式の整数解をすべて求めよ．
積の形の不定方程式
積の形の不定方程式