数列の定義

人にプレゼントを贈るのため，今日から少しずつ貯金をしていく例を考える．今の貯金は $0$ 円だとして，毎日貯金してお金をためていく．最初は少額の $1$ 円からスタートして，1日ごとに $2$ 円ずつ金額を増やしていくことにする．つまり，次のように貯金していく．

1円初日、3円2日目、5円3日目、7円4日目、9円5日目、11円6日目、$\cdots$

この

\[1,3,5,7,9,11,\cdots\]

のように，数字をならべたものを数列(sequence)という．そして，数列の中の数ひとつひとつを，その数列の項(term)という．特に，一番はじめの項のことを初項(first term)といい，2番目の項を第2項，3番目の項を第3項， $N$ 番目の項を第 $N$ 項，一番最後の項を末項(last term)という．

一般的には，数列の各項を

\[a_1,a_2,a_3,\cdots a_n,\cdots\]

のように，文字に項の番号を右下に添えて書く．また数列全体を $\{a_n\}$ と書く．

この数列では， $n$ 日目( $n$ は自然数とする)に貯金する金額を $a_n$ で表すと

\[a_{n+1}=a_n+2\]

という関係が常に成り立つ(ここで， $a_1$ は初日の金額を表すので， $a_1=1$ である)．

実際，この式の $n$ に $1$ や $2$ を代入してみると

\begin{align} a_2&=a_1+2\\ a_3&=a_2+2 \end{align}

となり， $a_1=1$ だから， $a_2=1+2=3$ として確かに2日目の貯金額が導かれる．また， $a_2=3$ だから， $a_3=3+2=5$ として3日目の貯金額が導かれる．

この $a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)$ のように，ある項 $(a_n)$ と別のある項 $(a_{n+1})$ との間に成り立つ関係式のことを，漸化式ぜんかしき(recurrence formula)という．

以上をまとめると，この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る．

\[a_1=1,a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)\]