数列の定義

数列とは何か

人にプレゼントを贈るのため,今日から少しずつ貯金をしていく例を考える.今の貯金は $0$ 円だとして,毎日貯金してお金をためていく.最初は少額の $1$ 円からスタートして,1日ごとに $2$ 円ずつ金額を増やしていくことにする.つまり,次のように貯金していく.

1円初日3円2日目5円3日目7円4日目9円5日目11円6日目、$\cdots$

この

\[1,3,5,7,9,11,\cdots\]

のように,数字をならべたものを数列(sequence)という.そして,数列の中の数ひとつひとつを,その数列の項(term)という.特に,一番はじめの項のことを初項(first term)といい,2番目の項を第2項,3番目の項を第3項, $N$ 番目の項を第 $N$ 項,一番最後の項を末項(last term)という.

一般的には,数列の各項を

\[a_1,a_2,a_3,\cdots a_n,\cdots\]

のように,文字に項の番号を右下に添えて書く.また数列全体を $\{a_n\}$ と書く.

漸化式とは何か

この数列では, $n$ 日目( $n$ は自然数とする)に貯金する金額を $a_n$ で表すと

\[a_{n+1}=a_n+2\]

という関係が常に成り立つ(ここで, $a_1$ は初日の金額を表すので, $a_1=1$ である).

実際,この式の $n$ に $1$ や $2$ を代入してみると

\begin{align} a_2&=a_1+2\\ a_3&=a_2+2 \end{align}

となり, $a_1=1$ だから, $a_2=1+2=3$ として確かに2日目の貯金額が導かれる.また, $a_2=3$ だから, $a_3=3+2=5$ として3日目の貯金額が導かれる.

この $a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)$ のように,ある項 $(a_n)$ と別のある項 $(a_{n+1})$ との間に成り立つ関係式のことを,漸化式ぜんかしき(recurrence formula)という.

以上をまとめると,この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る.

\[a_1=1,a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)\]

漸化式から数列の項を求める

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の第5項までを書き出せ.

  1. $a_1=1,a_{n+1}=a_n+n^2$
  2. $a_1=2,a_{n+1}=3a_n+2$
  3. $a_1=1,a_{n+1}=5a_n+2^n$
  4. $a_1=1,a_{n+1}=5a_n+n$
  5. $a_1=2,a_2=5,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$
  6. $a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{2a_n+2}{a_n+3}$

  1. \begin{align} a_1&=1\\ a_2&=1+2^2=5\\ a_3&=5+3^2=14\\ a_4&=14+4^2=30\\ a_5&=30+5^2=55 \end{align}

    より, $\boldsymbol{1,5,14,30,55}$ である.

  2. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=3\cdot2+2=8\\ a_3&=3\cdot8+2=26\\ a_4&=3\cdot26+2=80\\ a_5&=3\cdot80+2=242 \end{align}

    より, $\boldsymbol{2,8,26,80,242}$ である.

  3. \begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+2=7\\ a_3&=5\cdot7+2^2=39\\ a_4&=5\cdot39+2^3=203\\ a_5&=5\cdot203+2^4=1031 \end{align}

    より, $\boldsymbol{1,7,39,203,1031}$ である.

  4. \begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+1=6\\ a_3&=5\cdot6+2=32\\ a_4&=5\cdot32+3=163\\ a_5&=5\cdot163+4=819 \end{align}

    より, $\boldsymbol{1,6,32,163,819}$ である.

  5. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=5\\ a_3&=5\cdot5-6\cdot2=13\\ a_4&=5\cdot13-6\cdot5=35\\ a_5&=5\cdot35-6\cdot13=97 \end{align}

    より, $\boldsymbol{2,5,13,35,97}$ である.

  6. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=\frac{2\cdot2+2}{2+3}=\frac{6}{5}\\ a_3&=\frac{2\cdot\frac{6}{5}+2}{\frac{6}{5}+3}=\frac{22}{21}\\ a_4&=\frac{2\cdot\frac{22}{21}+2}{\frac{22}{21}+3}=\frac{86}{85}\\ a_5&=\frac{2\cdot\frac{86}{85}+2}{\frac{86}{85}+3}=\frac{342}{341} \end{align}

    より, $\boldsymbol{2,\dfrac{6}{5},\dfrac{22}{21},\dfrac{86}{85},\dfrac{342}{341}}$ である.