数列の和

10日に貯金しなければいけない金額はわかった．次に，10日間で貯金できた合計金額を考えてみよう．

初日に1円，2日目に3円，3日目に5円， $\cdots$ ，10日目に19円貯金するのだから，金額を順に足していくことにより

\begin{align} &1+3+5+7+9+11+13\\ &\qquad+15+17+19=100 [円] \end{align}

となり，ちょうど100円貯金できたことがわかる．

しかし，この考え方では，20日間や50日間で貯金した合計金額を知りたいときに相当面倒である．そこで，別の見方を考えてみよう．

上記のように両端から順にペアを組ませると，ペア同士の和が全て同じ数値「 $20$ 」になることに気がつけば

\[S_{10}=20\times\frac{10}{2}=100 [円]\]

と求めることができる．（ペアの個数は，元の項数10の半分となる．）

この方法を使えば， $S_{20},S_{50}$ も次のように求めることができる．

\begin{align} S_{20}&=1+3+5+\cdots+35+37+39\\ &=40\times\frac{20}{2}=400 [円]\\ S_{50}&=1+3+5+\cdots+95+97+99\\ &=100\times\frac{50}{2}=2500 [円] \end{align}

さらに， $n$ 日間で貯金できた合計金額 $S_n$ は

\begin{align} S_n&=1+3+\cdots+(2n−3)+(2n−1)\\ &=2n\times\frac{n}{2}=n^2 [円] \end{align}

と表すことができる．

ここで，貯金が1万円になるまでの日数を考えると， $S_n=10000$ という方程式を考えて

\begin{align} S_n&=10000\\ \Leftrightarrow\ n^2&=10000\\ n&=100 \end{align}

より100日間とわかる．つまり，最初1円からスタートしても3ヶ月弱で達成できる．意外と早いものだ．