$\Sigma$の性質

$\Sigma$の性質

$\Sigma$ を導入した理由は，数列の和を簡単に取り扱うためであった．つまり，

\[3+1,6+4,9+9,\cdots,3n+n^2\tag{1}\label{sigmanoseisitu}\]

のような等差数列でも等比数列でもない数列についても和を考えやすくするためである．その際，よく利用される $\Sigma$ の計算法則があるので，まずはその計算法則を確認しよう． $\Sigma$ 記号に関して，次のことが成り立つ．

$\Sigma$ 記号の性質

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k\qquad(cは定数)$

【証明】

  1. \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)\\ =&\ (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)\\ &\qquad+\cdots+(a_{n-1}+b_{n-1})+(a_n+b_n)\\ =&\ (a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n)\\ &\ (b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_n)\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k \end{align}
  2. \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}ca_k\\ =&\ ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_{n-1}+ca_n\\ =&\ c(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n)\\ =&\ c\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align}

吹き出し無題

これらは，それぞれ

  1. $\Sigma$ 記号は和のところで分配できる
  2. $\Sigma$ 記号内の実数倍は $\Sigma$ 記号の $\dot{表}\dot{に}\dot{出}\dot{る}$

と意味をもたせて覚えるとよい．

この性質を利用すると，数列 $\eqref{sigmanoseisitu}$ の第 $n$ 項までの和は

\[\sum_{k=1}^{n}(3k+k^2)=3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k^2\]

と簡単にすることができる．

あとは $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ や $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ がわかれば，数列 $\eqref{sigmanoseisitu}$ の和を求めることができるわけであるが，これら $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ や $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ については次の $\Sigma$ 記号の公式 でまとめて学習することにしよう．