$a_n=$(等差数列の項)$\times$(等比数列の項)
$a_n=$(等差数列の項)$\times$(等比数列の項)の和
この $\eqref{annowa}$ のように， $(等差数列)\times(等比数列)$ で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．
STEP1
初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を書き下す．
\[S_n=\underbrace{1+2\cdot2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-2}+n\cdot2^{n-1}}_{n個の項}\]STEP2
この式の辺々を2倍(公比倍)した式を書く．
\[2S_n=\underbrace{1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}+n\cdot2^n}_{n個の項}\]STEP3
上の2つの式を並べる．このとき，下のように，2倍(公比倍)した式の方を右に1段ずらして書いておく．
STEP4
上の式から下の式を引く．
STEP5
このとき，必ず等比数列の和が現れるので，その部分を計算する．
\begin{align} -S_n&=\underbrace{1+1\cdot2+1\cdot2^2+\cdots+1\cdot2^{n-2}+1\cdot2^{n-1}}_{初項1公比2の等比数列}\\ &\qquad-n\cdot2^n\\ &=\frac{1\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^n\\ &=2^n-1-n\cdot2^n\\ &=-(n-1)2^n-1 \end{align}式全体に $-1$ を掛けて
\[S_n=(n-1)2^n+1\]を得る．
解法をまとめておこう．
$a_n=(等差数列の項)\times(等比数列の項)$ の和の解法
STEP1:和を書き下す．
STEP2:和を公比倍したものを書く．
STEP3:上の2式をずらして並べる．
STEP4:項のかたまりを崩さないように差を取る．
STEP5:等比数列の和を見つけて計算し， $S_n$ を求める．
等差 $\times$ 等比型数列の和～その１～
次の和 $S$ を求めよ．
\[S=1+3\cdot2+5\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^{n-1}\]公比を掛けて差をとると
\begin{align} S&=1+3\cdot2+5\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^{n-1}\\ 2S&=1\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^n \end{align}より
\begin{align} &-S\\ =&\ 1+2(2+2^2+\cdots+2^{n-1})-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ 1+2\cdot\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ 1+2\cdot(2^n-2)-(2n-1)\cdot2^n\\ =&\ -3-(2n-3)\cdot2^n \end{align}よって， $\boldsymbol{S=3+(2n-3)\cdot2^n}$ である．
等差 $\times$ 等比型数列の和～その２～
次の和 $S$ を求めよ．
\[S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\]$x=1,x\neq1$ で場合分けを行なう．
- $x=1$ のとき \begin{align} S&=1+2+3+\cdots+n\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{2}n(n+1)} \end{align}
- $x\neq1$ のとき \begin{align} S&=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\\ xS&=x+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n \end{align}
より
\begin{align} (1-x)S&=1+(x+x^2+\cdots+x^{n-1})-nx^n\\ &=1+\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}-nx^n\\ \end{align}$\blacktriangleleft$ 初項 $x$ ，公比 $x$ ，項数 $n-1$ の等比数列の和
よって
\begin{align} S&=\frac{1-nx^n}{1-x}+\frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}\\ &=\frac{(1-nx^n)(1-x)+x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}\\ &=\boldsymbol{\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}} \end{align}