階差数列の定義
階差数列とは何か
下の数列の第 $n$ 項をいきなり求めるのは，少し難しい．
このように一般項がすぐに把握できない場合は，隣り合った項の差をとって，新たな数列をつくってみるとうまくいくことがある．まず新しく作られる数列について確認しよう．
隣り合った項の差に注目すると，たとえば $X$ は12と予想できるので，第6項は $30+12=42$ と求めることができる．
階差数列の定義
数列 $\{a_n\}$ に対して
\[b_n=a_{n+1}-a_n\]となる数列 $\{b_n\}$ を，数列 $\{a_n\}$ の階差数列 (progression of differences) という．
この例では，階差数列 $\{b_n\}$ は，初項4，公差2の等差数列になっているので
\[b_n=4+(n-1)\times2=2n+2\]と表せる．
階差数列の定義
数列 $1,2,6,13,23,36$ の階差数列を書け．
階差数列 $\{b_n\}$ は
\begin{align} b_1&=a_2-a_1=2-1=1\\ b_2&=a_3-a_2=6-2=4\\ b_3&=a_4-a_3=13-6=7\\ b_4&=a_5-a_4=23-13=10\\ b_5&=a_6-a_5=36-23=13 \end{align}よって，階差数列は $\{1,4,7,10,13\}$ で与えられる．