階差数列から一般項を求める
階差数列の一般項
次に，本題であった数列 {an} を求めよう．
階差数列の一般項 bn がわかった場合，そこから an を以下のようにして求めることができる．
上の数列から
であるから， an は「 a1 に b1 から bn−1 までの n−1 項を加えたもの」とわかる．よって， n≧2 のとき第 n 項は
として求めることができる．
以上，まとめておこう．
階差数列 {bn} から一般項 an を求める
数列 {an} の階差数列を {bn} とおくと， n≧2 のとき一般項 an は
an=a1+n−1∑k=1bkと求めることができる．
階差数列 {bn} から一般項 an を求める
次の数列の一般項 an を求めよ．
1,2,5,10,17,26,⋯階差数列 {bn}=1,3,5,7,9,⋯ より
bn=2n−1よって n≧2 において
an=a1+n−1∑k=1bk=1+n−1∑k=1(2k−1)=1+2⋅12(n−1)n−(n−1)=n2−2n+2n=1 を代入したとき 12−2⋅1+2=1 となり， a1 と等しくなるので， n≧1 において a_n=\boldsymbol{n^2-2n+2} と表せる．