階差数列から一般項を求める
階差数列の一般項
次に，本題であった数列 $\{a_n\}$ を求めよう．
階差数列の一般項 $b_n$ がわかった場合，そこから $a_n$ を以下のようにして求めることができる．
上の数列から
であるから， $a_n$ は「 $a_1$ に $b_1$ から $b_{n-1}$ までの $n-1$ 項を加えたもの」とわかる．よって， $n\geqq2$ のとき第 $n$ 項は
として求めることができる．
以上，まとめておこう．
階差数列 $\{b_n\}$ から一般項 $a_n$ を求める
数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とおくと， $n\geqq2$ のとき一般項 $a_n$ は
\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]と求めることができる．
階差数列 $\{b_n\}$ から一般項 $a_n$ を求める
次の数列の一般項 $a_n$ を求めよ．
\[1,2,5,10,17,26,\cdots\]階差数列 $\{b_n\}=1,3,5,7,9,\cdots$ より
\[b_n=2n-1\]よって $n\geqq2$ において
\begin{align} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)\\ &=1+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)n-(n-1)\\ &=n^2-2n+2 \end{align}$n=1$ を代入したとき $1^2-2\cdot1+2=1$ となり， $a_1$ と等しくなるので， $n\geqq1$ において $a_n=\boldsymbol{n^2-2n+2}$ と表せる．