$a_n=n(n+1)$、$a_n=n^2$タイプの数列の和

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n(n+1)\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\boxed{5}&\\ 1\cdot2,&2\cdot3,&3\cdot4,&4\cdot5,&5\cdot6,&\cdots \end{array}

となる．このように，『2 つの連続した数の積』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のような手順で求めることができる．

$\text{STEP}1$

$a_n=n(n+1)$ の2連続数に着目して， $n,n+1$ の $"続き"$ である $n+2$ を $a_n$ に掛けたものから， $n,n+1$ の $"1 つ前"$ である $n-1$ を $a_n$ に掛けたものを引く

\[\underbrace{n(n+1)}_{a_n}(n+2)-(n-1)\underbrace{n(n+1)}_{a_n}\]

$\text{STEP}2$

共通因数 $n(n+1)$ のかたまりを崩さないようにまとめ， $n(n+1)$ について解く．

\begin{align} &\ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\\ =\ &n(n+1)\{(n+2)-(n-1)\}\\ =\ &3n(n+1) \end{align}

よって

\begin{align} n(n+1)&=\frac{1}{3}\{n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)\} \end{align}

$\text{STEP}3$

この関係式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\dfrac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\ =&\dfrac{1}{3}\big[(1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2)\\ &\qquad+(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3)\\ &\qquad+(3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4)+\cdots\\ &\qquad+\{(n-1)n(n+1)\\ &\qquad-(n-2)(n-1)n\}\\ &\qquad+\{n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)\}\big] \end{align}

$\text{STEP}4$

相殺して消える部分ができるので，下のように消していくと，和が求まる．

以上，まとめておこう．

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n^2\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\boxed{5}&\boxed{6}&\\ 1^2,&2^2,&3^2,&4^2,&5^2,&6^2,&\cdots \end{array}

となる．このように，『 $a_n=n^2$ 』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のような手順で求めることができる．

$\text{STEP}1$

2連続数の積の数列の和の公式

\[\sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\]

を思い出す．

$\text{STEP}2$

左辺の $\Sigma$ の中の式を展開すると， $k^2+k$ になるから， $k$ の項を右辺に移項する．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^n(k^2+k)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^nk \end{align}

$\text{STEP}3$

右辺の $\sum_{k=1}^nk$ を計算し，共通因数でまとめると和の公式が求まる．

\begin{align} \sum_{k=1}^nk^2&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^nk\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}2n(n+1)(n+2)-\frac{1}{6}3n(n+1)\\ &\uparrow\frac{1}{6}で通分\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{2(n+2)-3\}\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{align}

以上，まとめておこう．