$a_n=n(n+1)(n+2)$、 $a_n=n^3$タイプの数列の和

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n(n+1)(n+2)\tag{1}\label{k(k+1)(k+2)nowa}\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\\ 1\cdot2\cdot3,&2\cdot3\cdot4,&3\cdot4\cdot5,&4\cdot5\cdot6,&\cdots \end{array}

となる．

この $\eqref{k(k+1)(k+2)nowa}$ のように，『3つの連続した数の積』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．

$\text{STEP}1$

$a_n=n(n+1)(n+2)$ の3連続数に着目して， $n,n+1,n+2$ の $"続き"$ である $n+3$ を $a_n$ に掛けたものから， $n,n+1,n+2$ の $"1つ前"$ である $n-1$ を $a_n$ に掛けたものを引く

\begin{align} &\underbrace{n(n+1)(n+2)}_{a_n}(n+3)\\ &\qquad-(n-1)\underbrace{n(n+1)(n+2)}_{a_n} \end{align}

$\text{STEP}2$

共通因数 $n(n+1)(n+2)$ のかたまりを崩さないようにまとめ， $n(n+1)(n+2)$ について 解く．

\begin{align} &n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\\ =&n(n+1)(n+2)\{(n+3)-(n-1)\}\\ =&4n(n+1)(n+2) \end{align}

よって

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\\ =&\dfrac{1}{4}\{n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\} \end{align}

$\text{STEP}3$

この関係式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\dfrac{1}{4}\{k(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\\ =&\dfrac{1}{4}\big[(1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3)\\ &\qquad+(2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4)\\ &\qquad+(3\cdot4\cdot5\cdot6-2\cdot3\cdot4\cdot5)+\cdots\\ &\qquad+\{(n-1)n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-2)(n-1)n(n+1)\}\\ &\qquad+\{n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\}\big] \end{align}

$\text{STEP}4$

相殺して消える部分ができるので，下のように消していくと，和が求まる．

以上，まとめておこう．

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n^3\tag{2}\label{k^3nowa}\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\boxed{5}&\boxed{6}&\\ 1^3,&2^3,&3^3,&4^3,&5^3,&6^3,&\cdots \end{array}

となる．

この $\eqref{k^3nowa}$ のように，『 $a_n=n^3$ 』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．

$\text{STEP}1$

3連続数の積の数列の和の公式

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\\ =&\ \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \end{align}

を思い出す．

$\text{STEP}2$

左辺の $\Sigma$ の中の式を展開すると， $k^3+3k^2+2k$ になるから， $3k^2+2k$ の項を右辺に移項する．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^n(k^3+3k^2+2k)\\ &\ =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^3+\sum_{k=1}^n(3k^2+2k)\\ &\ =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad\qquad\qquad-\sum_{k=1}^n(3k^2+2k)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad\qquad\qquad-3\sum_{k=1}^nk^2-2\sum_{k=1}^nk \end{align}

$\text{STEP}3$

右辺の $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2$ と $\displaystyle\sum_{k=1}^nk$ を計算し，共通因数でまとめると和の公式が求まる．

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk^3\\ =&\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &-3\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\\ =&\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &-\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)-n(n+1)\\ =&\frac{1}{8}2n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &-\frac{1}{8}4n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{8}8n(n+1)\\ &\uparrow\frac{1}{8}で通分\\ =&\frac{1}{8}n(n+1)\\ &\{2(n+2)(n+3)-4(2n+1)-8\}\\ =&\frac{1}{8}n(n+1)\{2(n^2+5n+6)-8n-4-8\}\\ =&\frac{1}{8}n(n+1)\{2n^2+10n+12-8n-4-8\}\\ =&\frac{1}{8}n(n+1)\{2n^2+2n\}\\ =&\frac{1}{8}n(n+1)\{2n(n+1)\}\\ =&\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \end{align}

以上，まとめておこう．