\begin{align}a_n=&n(n+1)(n+2)\\\cdots&\{n+(m−1)\}\end{align} ($m$個)と$a_n=n^m$タイプの数列の和

1.10.1と1.10.2の発展形として，次のような数列を考えてみよう．

$\tag{1}\label{mrenzokusunoseki}$

$\eqref{mrenzokusunoseki}$ の数列は，各項の1番左側に着目すると，“初項1，公差1の等差数列”になっている．また，各項の左から2番目だけに着目すると，“初項2，公差1の等差数列”になっている． $\cdots$ ．最後に，各項の一番右側だけに着目すると，“初項 $m$ ，公差1の等差数列”になっている．よって，一般項 $a_n$ は

\[a_n=\overbrace{n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))}^{m個の連続数の積}\]

と表すことができる．

この $\eqref{mrenzokusunoseki}$ の数列のように，『 $m$ 個の連続数の積』で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．

$\text{STEP}1$

$a_n=n(n+1)(n+2)$ の3連続数に着目して， $n,n+1,n+2,\cdots,n+(m-1)$ の $"続き"$ である $n+m$ を掛けたものを下のように書く．

\[n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\]

$\text{STEP}2$

同じく $n,n+1,n+2,\cdots,n+(m-1)$ の $"1つ前"$ である $n-1$ を掛けたものを引く．

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1)) \end{align}

$\text{STEP}3$

共通因数 $n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))$ のかたまりを崩さないようにまとめる．

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)(n+2)\\ &\qquad\cdots(n+(m-1))\\ =&n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))\\ &\{(n+m)-(n-1)\}\\ =&\overbrace{(m+1)}^{係数}n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1)) \end{align}

$\text{STEP}4$

式全体を $m+1$ で割ることによって，右辺の $n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))$ について解く．

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))\\ =&\dfrac{1}{m+1}\{n(n+1)\\ &\qquad\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)\cdots(n+(m-1))\} \end{align}

$\text{STEP}5$

右辺の式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+(m-1))\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\frac{1}{m+1}\{k(k+1)\\ &\quad\cdots(k+(m-1))(k+m)\\ &-(k-1)k(k+1)\cdots(k+(m-1))\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)\\ &\quad\cdots(k+(m-1))(k+m)\\ &\quad-(k-1)k(k+1)\cdots(k+(m-1))\}\\ =&\dfrac{1}{m+1}\{(1\cdot2\cdots m(m+1)-0\cdot1\cdots m)\\ &\quad+(2\cdot3\cdots(m+1)(m+2)-1\\ &\quad\cdot2\cdots(m+1))+\cdots\\ &\quad+(n(n+1)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &\quad-(n-1)n\cdots(n+(m-1))\} \end{align}

$\text{STEP}6$

相殺して消える部分ができるので，下のように消していくと，和が求まる．

まとめておこう．